□□□ 2002年06月13日分解答 □□□□□□

▲大学受験向け▲

【標準問題】

（微分）

 

曲線ｙ＝cosｘ（|ｘ|≦?/２）とｘ軸に内接する台形ＡＢＣＤを考える。い
ま、台形ＡＢＣＤを図のようにとり、点Ａを、Ａ(ａ，cosａ)　
（０＜ａ＜?/２）と表すとき、台形ＡＢＣＤの面積Ｓ(ａ)は最大値をとるこ
とを示せ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（改　1993年　千葉大）

 

 

 

Ｓ(ａ)＝（２ａ＋?）cosａ/２

Ｓ'(ａ)＝{２cosａ−（２ａ＋?）sinａ}/２　

       ＝sinａ{cotanａ−（ａ＋π/２）}

 

さて、０＜ａ＜?/２の範囲で

 

sinａ＞０

一方、

ｙ＝cotanａとｙ＝ａ＋π/２のグラフを描いてみると

 

だから

cotanａ＝ａ＋π/２を満たすａをａ'とすると

０＜ａ＜ａ'で　　　Ｓ'(ａ)＞０

ａ'＜ａ＜π/２で　　Ｓ'(ａ)＜０

 

よって、Ｓ(ａ)はａ＝ａ'で最大となる