□□□ 2005年大学入試センター試験
　　　　　　　　　数学Ⅰ・Ａ第４問　問題及び解答 □□□□□□

解答：

三角形ＢＣＨは直角三角形で∠ＨＢＣ＝３０°

だからＢＣ＝２ＣＨ……(1)

一方、接弦定理より∠ＭＡＣ＝∠ＡＢＣなので

△ＭＡＣ∽△ＡＢＣ（２角相等）である。

したがって、

ＡＣ：ＭＣ＝ＢＣ：ＡＣ　

よって　ＡＣ^2＝ＭＣ・ＢＣ

　　　　　　　＝ＭＣ・２ＣＨ ((1)より)

　　　　　　　＝２ＣＨ^2 （ＭはＢＣの中点）

だから　ＡＣ＝√２・ＣＨ　

したがって、

△ＨＡＣは直角二等辺三角形であり、

∠ＡＭＢ＝∠ＭＡＣ＋∠ＭＣＡ

　　　　＝３０＋（６０－４５）

　　　　＝４５°となる。

△ＣＨＫ：△ＢＣＫ＝（△ＣＨＡ－△ＨＫＡ）：（△ＣＢＡ－△ＡＫＢ）

　　　　　　　　　＝ＨＡ：ＡＢ　……(2)

　　　　　　（それぞれ三角形の高さが等しいので面積は底辺に比例する）

また、ＭはＢＣの中点だから△ＨＢＫ＝△ＨＣＫ ……(3)

一方、△ＨＢＫ：△ＢＫＣ＝ＨＬ：ＬＣ　……(4)

(2),(3),(4)より

ＨＬ：ＬＣ＝ＨＡ：ＡＢ　が成り立つ

したがって、△ＨＡＬと△ＨＢＣの面積比は

相似比が　ＢＨ＝√３・ＣＨ

　　　　　　　＝√３・ＡＨ　であるから

△ＨＡＬ：△ＨＢＣ＝１^2：(√３)^2

＝１：３　となる。