【基本問題】

平面上の４点Ｏ（０，０）、Ａ（０，３）、Ｂ（１，０）、Ｃ（３，０）について
次の問に答えよ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（０１年　北大）

（１）　sin∠BAC を求めよ。







解答：

sin∠BAC
= sin(∠OAC - ∠OAB)
= sin∠OAC cos∠OAB - cos∠OAC sin∠OAB           AC=3√3
= 1/√2 * 3/√10 - 1/√2 * 1/√10                 AB=√10
= 1/√5


別解：

tan∠OAC = 1 , tan∠OAB = 1/3 より
tan∠BAC = tan(∠OAC - ∠OAB)
         = (1 - 1/3)/(1 + 1* 1/3)
         = 1/2
0°＜ ∠BAC ＜ 45° より
sin∠BAC = √{1 - (cos∠BAC)^2}
         = √〔1 - 1/{1 + (tan∠BAC)^2}〕
         = 1/√5



【標準問題】

（２）　点Ｐが線分ＯＡ上を動くとき、sin∠BPC の最大値と、それを与える点Ｐ
　　　の座標を求めよ。





解答：

Ｐの座標を(0,p) (0＜p＜3) とすると
sin∠BPC
= sin(∠OPC - ∠OPB)
= sin∠OPC cos∠OPB - cos∠OPC sin∠OPB　　　　　　　　　　　加法定理　
= 3/√(9+p^2) * p/√(1+p^2) - p/√(9+p^2) * 1/√(1+p^2)　　　AC=√(9+p^2)
= 2p/√(9+p^2)√(1+p^2)                                      AB=√(1+p^2)
= 2/√(9/p + p)√(1/p + p)
= 2/√(9/p^2 + 10 + p^2)≦ 2/√(2√(9/p^2 * p^2) + 10)　　　 相加相乗平均
                        =  2/√(2√9 + 10)
                        =  1/2
等号が成立するのは　9/p^2 ＝ p^2
　　　　　　　　　　　p^4 = 9
　　　　　0＜p＜3 より　p = √3

よって P(0,√3) のとき、sin∠BPCは最大値 1/2 をとる。