三角関数の極めて重要な性質は周期性・ 三角関数は全ての周期現象の根源

周期的な現象は全て三角関数で表現可能

微分でsinはcosにcosはsinに変化

サイン・コサイン波

電気信号がサイン波とコサイン波を寄せ集めると、ほとんどどんな形の波形も合成可能。

フーリエ級数は、様々な科学の分野で重要な存在

直交性（積分値ゼロ）

クロネッカーのデルタ ｍ と ｎ が同じ場合は 1、　ｍ と ｎ が違う場合は 0

関数の場合の直交性とは、かけあわせて積分するとゼロ

積分が1になる（正規）、このような関数のセットを正規直交系

直交性はフーリエ級数で大変役立つ性質

sin(奇関数) x cos（偶関数）奇関数を、-πからπまで積分するとゼロになる。

（-πから0の積分と、0からπの積分は絶対値の大きさが同じで正負が逆）

サインとコサインは常に直交

三角関数の公式 べき乗の積分公式

積分をする前にsinxをかけると、大規模なキャンセルが引き起こされる。

方形波 奇関数なので0 積分の範囲を0の前後で分ける 方形波（直線・直角）がサイン波（曲線）の重ね合わせで表現可能とは驚くべきことです。 方形波の式（フーリエ級数）

方形波近似（三角関数の有限和） （3周期分） 三角関数の有限和で近似される。 和の項数を増やして無限和にすると近似式が等式になる。

ライプニッツの級数 円周率の近似値を求めることができる。

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ノコギリ形の波（周期2π）

ノコギリ波近似

ノコギリ波近似

バーゼル問題の解

周期2πの関数