さて今回学ぶのは、２進数というちょっと数学チックなものです。
ここで筆記用具を用意してくれ。
われわれが日常使っている数字は１０進数です。どこらへんが１０なのかと
いうと０〜９までの １０種類の数 を使っているというところです。
当然だが一の位で３を表せば ３、 一の位で８を表せば ８ 、しかし一の位で
１０を表すことはできない。そこで必要となるのが次の桁（十の位）だ。
例えば １７ だったら １×（１０） ＋ ７×（１）より 十の位に１、
一の位に７ となる。
２５６だったら ２×（１００） ＋ ５×（１０） ＋ ６×（１） より
百の位に ２、十の位に５ 、 一の位に６ となる。
（問）１０２４ を 上のように記述しなさい。
（答）１×（１０００）＋ ０×（１００）＋ ２×（１０） ＋ ４×（１）
さて、できただろうか。
ここで見てもらいたいのは（ ）の中身は１、１０、１００、・・・という
桁を表していることに気づくだろう。
ここで１、１０、１００、・・・を別の方法で書くことにする。
つまり、例をあげると １０００ は １０ の３乗だよね。
ここで、
１０ の３乗 のことを １０＾３ と書くことにする。ほかにも
３ の８乗 は ３＾８ となり、 ５の２乗は ５＾２ と書ける。
（問）１００、１００００、１０を上の方式で書きなさい。
（答）１０＾２ 、 １０＾４ 、１０＾１
ここで少し数学を思い出すと、Xの０乗は １ つまり X＾０＝１
Xは何でもいいので、 ２＾０＝１ 、５＾０＝１ 、５４３２＾０＝１
と書くことができる。
ここでは１０を用いているので １を １０＾０ と書こう。
さてもう一度 １０２４ を 書くとすると
１×（１０＾３）＋０×（１０＾２）＋２×（１０＾１）＋４×（１０＾０）
となるね。
（問）12345678を上の方式で書きなさい。
（答）
1×(10^7)+2×(10^6)+3×(10^5)+4×(10^4)+5×(10^3)+6×(10^2)+7×(10^1)+8×(10^0)
それでは一般的に４桁の数字abcdを考えてみよう。
ちょっと考えてみて
abcdなので
a×（１０＾３）＋b×（１０＾２）＋c×（１０＾１）＋d×（１０＾０）
とできましたね。
さて本題の２進数に入るとしよう。２進数は ２ というのだから
２種類の数字、つまり０と１のみで成り立っている。
小さい順にかくと
０、１、１０、１１、１００、１０１、１１０、１１１・・・
となります。一見、訳が分からないかもしれないが、だいじょうぶ。
上でやったことが今すぐ役に立ちます。
４桁の数字abcd が１０進数の場合
a×（１０＾３）＋b×（１０＾２）＋c×（１０＾１）＋d×（１０＾０）
でしたが
４桁の数字abcd が２進数の場合
a×（２＾３）＋b×（２＾２）＋c×（２＾１）＋d×（２＾０）
となります。
見てわかるように、１０のところが２に変わっただけです。
（例題）
２進数 １１０１ は １０進数で いくつでしょう。
（答）
１×（２＾３）＋１×（２＾２）＋０×（２＾１）＋１×（２＾０）
＝１× ８ ＋１× ４ ＋０× ２ ＋１× １
＝８＋４＋０＋１
＝１３ よって １０進数で １３
（問） ２進数 １０１０ は １０進数で いくつでしょう。
（答）
１×（２＾３）＋０×（２＾２）＋１×（２＾１）＋０×（２＾０）
＝１× ８ ＋０× ４ ＋１× ２ ＋０× １
＝８＋０＋２＋０
＝１０ よって １０進数で １０
ここで いちいち１０進数で とか ２進数で をかくのは面倒なので
１０進数で ２３ という表現を (２３)I とし
２進数で １０１ という表現を (１０１)A とします。
つまり
(１１０１)A ＝ (１３)I
(１０１０)A ＝ (１０)I
ということになります。
上では４桁(abcd)Aでしかやっていませんが、
５桁(abcde)Aの場合も
a×(2^4)+b×(2^3)+c×(2^2)+d×(2^1)+e×(2^0)
また、３桁(abc)Aの場合も
a×(2^2)+b×(2^1)+c×(2^0)
となり,何桁でも対応できます。
（練習問題）次の２進数を１０進数になおしなさい。
（１）(１０１)A
（２）(１１１１１)A
（３）(１１)A
（４）(１)A
（５）(０)A
（６）(１０)A
（７）(１０１０１０１)A
（答）途中の式は省きました。
（１）(５)I
（２）(３１)I
（３）(３)I
（４）(１)I
（５）(０)I
（６）(２)I
（７）(８５)I
これで ２進から１０進への変換はできましたね。
次に１０進から２進への変換を学びます。２進から１０進への変換が掛け算
なのだから、１０進から２進への変換は？
そう、割り算を用います。
その手順は例えば(abcd)Iとすると
１．４桁の１０進数abcdを２で割ります。
２．商を書きます。
３．余りを求めます。そしてこの余りが２進数の一番右の桁の数字となります
４．求めた商を２で割ります。
５．商を書きます。
６．余りを求めます。そしてこの余りが２進数の次の桁の数字となります。
７．再び４．に行き、商が０になるまで続けます。
（例題）(２２)I を２進数表示しなさい。
（答）
２２を２で割ると 商が１１、余りが０ よって（？？？？０)A
次に今の商１１を２で割ると 商が ５、余りが１ よって（？？？１０)A
次に今の商 ５を２で割ると 商が ２、余りが１ よって（？？１１０)A
次に今の商 ２を２で割ると 商が １、余りが０ よって（？０１１０)A
次に今の商 １を２で割ると 商が ０、余りが１ よって（１０１１０)A
ここで商が０なのでストップ。よって（１０１１０)A が答。
（練習問題）次の１０進数を２進数になおしなさい。
（１）(６)I
（２）(１０)I
（３）(１９)I
（４）(４５)I
（答）途中の式は省きました。
（１）(１１０)A
（２）(１０１０)A
（３）(１００１１)A
（４）(１０１１０１)A
[応用編 １６進数]
さてコンピュータでは１０進、２進の他に、１６進も使います。
１６進数は１６というので１６種類の数字を使うことが予想されます。
しかし、われわれは０〜９以外に数字は知りません。
そこで１６進では０〜９とＡ〜Ｆを使用します。
つまり
(０)O ＝ (０)I
(１)O ＝ (１)I
(２)O ＝ (２)I
・
・
・
(９)O ＝ (９)I
(Ａ)O ＝ (１０)I
(Ｂ)O ＝ (１１)I
(Ｃ)O ＝ (１２)I
(Ｄ)O ＝ (１３)I
(Ｅ)O ＝ (１４)I
(Ｆ)O ＝ (１５)I
(１０)O ＝ (１６)I
(１１)O ＝ (１７)I
・
・
・
です。
１６進から１０進への変換も同じように
a×（１６＾３）＋b×（１６＾２）＋c×（１６＾１）＋d×（１６＾０）
となります。
（例題）(２ＦＣ)O を１０進数で表せ。
（答）
２×（１６＾２）＋ Ｆ×（１６＾１）＋ Ｃ×（１６＾０）
ここでＦを１５、Ｃを１２に書き直します。
＝２×（１６＾２）＋１５×（１６＾１）＋１２×（１６＾０）
＝２×（ ２５６ ）＋１５×（ １６ ）＋１２×（ １ ）
＝５１２＋２４０＋１２
＝７６４ よって １０進数で ７６４
（練習問題）次の１６進数を１０進数になおしなさい。（電卓使用可）
（１）(Ａ９)O
（２）(４８)O
（３）(Ｅ３Ｂ)O
（答）途中の式は省きました。
（１）(１６９)I
（２）(７２)I
（３）(３６４３)I
今度は１０進から１６進への変換ですが、これも同じようにできます。
（例題）(３９２７)I を１６進数表示しなさい。
（答）
3927を16で割ると 商が245、余りが 7 よって（？？７)O
次に今の商 245を16で割ると 商が 15、余りが 5 よって（？５７)O
次に今の商 15を16で割ると 商が 0、余りが15 よって（Ｆ５７)O
ここで商が０なのでストップ。よって（Ｆ５７)O が答。
（練習問題）次の１０進数を１６進数になおしなさい。（電卓使用可）
（１）(２２１)I
（２）(６８６)I
（３）(３０７６)I
（答）途中の式は省きました。
（１）(ＤＤ)O
（２）(２ＡＥ)O
（３）(Ｃ０４)O
[Ｎ進数]
２進、１６進ができるのだから、一般的なＮ進数もできるはずです。
（練習問題）次の問に答えなさい。
（１）(１３７)G を １０進数で
（２）(１３７)I を ８進数で
（３）(２０１１)B を １０進数で
（答）途中の式は省きました。
（１）(９５)I
（２）(２１１)G
（３）(５８)I
ご苦労様です。
さて最後にまとめると
(abcd)I というのは
a に１０＾３ つまり １０００の 重み（位）
b に１０＾２ つまり １００の 重み（位）
c に１０＾１ つまり １０の 重み（位）
d に１０＾０ つまり １の 重み（位）
があることになります。
同様に(abcd)A というのは
a に２＾３ つまり ８の 重み（位）
b に２＾２ つまり ４の 重み（位）
c に２＾１ つまり ２の 重み（位）
d に２＾０ つまり １の 重み（位）
があることになります。
同様に(abcd)O というのは
a に１６＾３ つまり ４０９６の 重み（位）
b に１６＾２ つまり ２５６の 重み（位）
c に１６＾１ つまり １６の 重み（位）
d に１６＾０ つまり １の 重み（位）
があることになります。
以上で講座は終わりです。
知識のお部屋に戻る