【数学的帰納法の原理】

(1)「ｎ＝１のとき正しい」ことを示す。
(2)「ｎ＝ｋのときただしいならば、ｎ＝ｋ＋１のときにも正しい。」ことを示す。
(1),(2)からすべての自然数ｎについて正しい。
例　
(命題)自然数ｎについて
1+3+5+・・・+(2*n-1)=n^2
を示せ。
(証明)
(1)n=1のとき、
　左辺=1
　右辺=1^2=1
　よって、左辺=右辺
(2)n=kのとき正しいとすれば、
1+3+5+・・・+(2*k-1)=k^2　　　・・・①
が成り立つ。n=k+1のとき右辺が(k+1)^2となればよい。
左辺=1+3+5+・・・+(2*k-1)+(2*(k+1)-1)
　　=k^2+(2*k+1)　　　(①より)
　　=(k+1)^2
　　=右辺
(1),(2)より与えられた命題は成り立つ。
帰納法とは将棋倒しのようなもの。
「はじめの駒が倒れること」と
「ある駒が倒れたら必ず次の駒も倒れる」ことが保証されるなら、
すべての駒が倒れるということ。
次に、いかさま帰納法の例を見てみよう。

【例１】茶碗の中にはご飯粒がいくつでも入る。
(証明)nについての命題P(n)が、すべてのnについて正しいことを示せばよい。
P(n):茶碗の中にはn粒のご飯粒が入る。
(1)n=1のとき明らか。(１粒は必ず入る。)
(2)n=kのときを仮定し、n=k+1のとき成り立つことをいう。
k粒入れば、明らかにあと１粒ぐらい乗っかる。
よって、成り立つ。
(1),(2)より成り立つ。

【例２】すべての人はハゲである。
(証明)髪の毛の本数をnとして、nについての命題P(n)が、
すべてのnについて正しいことを示せばよい。
P(n):髪の毛がn本の人はハゲである。
(1)n=1のときは明らか。(一本の人はハゲ。)
(2)n=kのときを仮定し、n=k+1のとき成り立つことをいう。
k本でハゲなら、明らかに一本ぐらい増えてもハゲ。
よって成り立つ。
(1),(2)より成り立つ。

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