格子点の問題

()平面の格子点（座標が共に整数の点）にうまく３点をとったら、
正三角形はできるか。
()また、６０度の角度ができるか。

解法
()正三角形ＡＢＣができたと仮定する。
３点Ａ、Ｂ、Ｃの座標をそれぞれ
（０，０）、（a*cos(t),a*sin(t)）、（a*cos(t+pi/3),a*sin(t+pi/3)）
としても一般性を失わない。（piは円周率πである。）
ここでa*cos(t)とa*sin(t)は共に整数である。
sin(t)は０でないつまり、Ｂはx軸上にないとする。
このとき、a*cos(t+60)を考える。
三角関数の加法定理を用いると、
a*cos(t+pi/3)
=a*{cos(t)*cos(pi/3)-sin(t)*sin(pi/3)}
=a*{cos(t)*(1/2)-sin(t)*((√3)/2)}
=a*cos(t)*(1/2)-a*sin(t)*((√3)/2)
a*cos(t)とa*sin(t)は共に整数より、b*{cos(t+pi/3)}は整数にならない。
これは矛盾である。Ｂがx軸上にあるときはb*sin(t+pi/3))について考えればよい。
よって正三角形はできない。
()Ｃの座標を（b*cos(t+pi/3),b*sin(t+pi/3)）として考えればよい。

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