距離の話

集合Xの任意の元x,yに対して、実数d(x,y)が対応して、
次のような条件を満足するものとする。
x,y,zをXの任意の元とするとき、
Ｄ１）　d(x,y)>=0で、かつd(x,y)=0⇔x=y
Ｄ２）　d(x,y)=d(y,x)
Ｄ３）　d(x,z)<=d(x,y)+d(y,z)（三角不等式）
このとき、dをX上の距離関数といい、このような距離関数の与えられた集合Xを
距離空間という。
また、d(x,y)をxとyの間の距離という。

例１
直線に座標を導入すれば、直線上の各点と実数が１対１に対応するので、
直線は実数の集合Ｒと同一視される。
直線Ｒ上の２点x,yの距離は普通には
d(x,y)=|x-y|（絶対値）
で与えられる。

例２
平面に直交座標を定めれば、平面上の２点は、２つの実数の組で表され、
Ｒ2の元と同一視される。
平面Ｒ2上の２点x=(x1,x2),y=(y1,y2)の距離d(x,y)は普通には
d(x,y)={(x1-y1)^2+(x2-y2)^2}^(1/2)
で与えられる。

例３（オリジナル）
ちょっと現実的な話を（役に立つかどうか・・・）
集合Xを「駅」の集まりとする。
お互いに電車で行き来できるものとする。
Xに属する元x,yに対して、
d(x,y)=min(x駅からy駅まで、電車で行く時の切符の値段)
と定義する。
定期券等は考えないとする。
ここでminをとったのは、環状線などで行き方がいくつもあることがあるからである。
また、無賃乗車などの違法はなしとする。
たとえ無人駅どうしでも（笑）。
Ｄ１）からＤ３）を満たすことを確かめてみよう。
Ｄ１）
切符代はもちろん正であるから、d(x,y)>=0である。
切符を買うために余計に小遣いをもらってもだ。
また、切符代がただ(d(x,y)=0)ならば、電車ではどこにもいけない(x=y)し、
逆にどこにもいかなければ(x=y)、切符代はかからない(d(x,y)=0)。
Ｄ２）
行きも帰りも同じ値段である。
Ｄ３）
途中で降りてしまうと損をする。
例えば俺が、実家に買える途中に新潟駅で降りてヨ○バ○カメラに寄ると、
遠回りになるだけでなく、切符代も余計にかかってしまう。
２３０円＋７４０円である。
普段は６５０円ね。

もどる