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徒然なるまま

学科Ⅲ・構造編　NO.2

※　A点及びB点に生じる曲げモーメントを求める

スリーヒンジラーメンの応力計算です。

ちょっとしたこつを掴めば力学も恐れることはありません。
（実は私も苦手でしたので大きいことは言えませんが）

今回は、シグマ君がお手伝いをかって出てくれました。
シグマ君は、総和＝「全ての和」と言う意味を持っています。

ついでを言うとギリシャ文字です。　
　　Σ（←大文字シグマ）　　　σ（←こちらは小文字シグマ）

まず、

第１の手順は「反力を求める」

第２の手順は「求められた反力をもとに応力を導く」

たったこれだけです。

第１の手順「反力を求める」

その一番はじめにやる仕事は
ポイントに名前を付けて上げることです。

自然に反力にも名前が付きます。

Ｖは　Vertical　　（垂直）
Ｈは　Horisontal　　（水平）

図　１を参照して下さい。

ピン接合の部分は必ず水平と垂直の反力が有ります。

Ｃ点には「Ｖｃ」と「Ｈｃ」
Ｄ点には「Ｖｄ」と「Ｈｄ」

合計４つの反力に名前が付きました。

シグマ君がＣ点に立っています。（図２）

　ΣＭＣ＝０
（Ｃ点のモーメントは全てつり合っています、と言う意味です。）
　Ｃ点を押さえたときに回転を起こしそうな力を探します。

　Ａ点の３Ｐ
　Ｂ点のＰ
　Ｄ点のＶｄ（未知数）

　Ｖｃや、Ｈｃ、Ｈｄは　回転しません。

　押さえた点に向かって力が働いていても回転しないからです。
　　（力　ｘ　距離　＝　回転）
　いくら力があっても距離がゼロなら回転はゼロです

では、お待たせしました。いよいよ条件式の作成です。

　ΣＭＣ＝０
　　　　＝（＋３ＰｘＬ）＋（＋ＰｘＬ）＋（－Ｖｄｘ３Ｌ）＝　０
　　　　＝（＋３ＰＬ）＋（ＰＬ）＋（－３ＶｄＬ）
　　　　＝４ＰＬ－３ＶｄＬ

　Ｖｄを求めてみましょう。

　３ＶｄＬ＝４ＰＬ　＝　３ＶｄＬ／３Ｌ＝４ＰＬ／３Ｌ

　　Ｖｄ＝４Ｐ／３

シグマ君が今度はＤ点に立っています。（図３）

　Ｄ点を押さえたときに回転を起こしそうな力を探します。

　ΣＭＤ＝０
　　　　＝（＋３ＰｘＬ）＋（－Ｐｘ２Ｌ）＋（＋Ｖｃｘ３Ｌ）＝　０
　　　　＝（＋ＰＬ）＋（＋３ＶｃＬ）
　　　　＝ＰＬ＋３ＶｃＬ

　Ｖｃを求めてみましょう。

－３ＶｃＬ＝ＰＬ　＝　－３ＶｃＬ／－３Ｌ＝ＰＬ／－３Ｌ

　　Ｖｃ＝－Ｐ／３
　　　　　　・・・ここでの－（マイナス記号）は
　　　　　仮定した反力の向きが実際と反対方向である
　　　　　と言う意味です。（←ここ大事！）

式の（　）中の（＋）、（－）の使い分けは、押さえた点から見て

時計回りが（＋）

反時計回りが（－）です。（←ここも大事！）

図の中ではオレンジ色（＋）

ブルー色（－）

悪かったね。シグマ君。

ところで、今度、シグマ君はＥ点に立っています。（図４）
Ｃ点と、Ｄ点は、ピン接合なので、
モーメントは働かないのですが
Ｅ点も、ピン接合なのでモーメントは働きません。

未知数であるＨｃの方程式を導き出すために
　左と　右に分けて考えます。

　ここでも同じ手順でＥ点を押さえたときに
　回転を起こしそうな力を探します。

まず、左側から。

　ΣＭＥ＝０　　
　　　　＝（－ＰｘＬ）＋（－Ｐ／３ｘ２Ｌ）＋（－ＨｃｘＬ）＝　０
　　　　＝（－５ＰＬ／３）＋（＋ＨｃＬ）
　　　　＝－５ＰＬ／３＋ＨｃＬ

　Ｈｃを求めてみましょう。

　　ＨｃＬ＝５ＰＬ／３　＝　ＨｃＬ／Ｌ＝５ＰＬ／３Ｌ

　　Ｈｃ＝５Ｐ／３

そして、右側。

　ΣＭＥ＝０　　
　　　　＝（－４Ｐ／３ｘＬ）＋（＋ＨｄｘＬ）＝　０
　　　　＝（－４ＰＬ／３）＋（＋ＨｄＬ）
　　　　＝－４ＰＬ／３＋ＨｄＬ

　Ｈｄを求めてみましょう。

　　ＨｄＬ＝＋４ＰＬ／３　＝　ＨｄＬ／Ｌ＝＋４ＰＬ／３Ｌ

　　Ｈｃ＝４Ｐ／３

シグマ君は速くもＡ点のモーメントを導きたくて
得意げに待ちかまえていますが（笑）
ちょっと、待って。

何事も　確認が大事です。

荷重が働けば、作用する反力は
同じだけの力が発生しているので検算してみましょう。

左から３Ｐ荷重、右から５Ｐ／３と４Ｐ／３反力

上からＰ荷重、下から４Ｐ／３と上からＰ／３反力

どちら様も荷重と反力はつり合ってゼロですか？
　ゼロですね。

では、いよいよ第２の手順
「求められた反力をもとに応力を導く」

（応力って何よ。まだなんかあんのー）

そんなつぶやきが　聞こえてきましたよ。
まあ、そう言わずに。

荷重がかかると、抵抗が起きる。レジスタンスですな。
構造の世界では「反力」と名乗る一団です。

その「荷重」と「反力」の発生で
骨組みの中では内なる力が生じるわけです。

この内なる力が「フォース」。ではなく、
「応力」又は「内力」です。

外部からの荷重と反力で

ぐぐっと圧迫されそうになったり、引っ張られたり
千切れそうになったり
はたまたねじ曲げられそうになったり。

それらは、みんな構造の世界では
「軸方向力」
「せん断力」
「曲げモーメント」
と、呼ぶわけです。

そのようなわけで、「荷重」無くして「反力」なし。
「反力」無くして「応力」なし。と言うことなのです。

曲げモーメント応力の計算は、＝外力ｘ距離

左側から順々に外力を片付けていく。　これ　ツボです。

あとは　力の向きに気を付けて足していけば
もう、ばっちりです。

　（ここでの計算ではシグマ君は外野です。）

　ＭＣ＝０

　ＭＡ＝（＋５Ｐ／３ｘＬ）＝５ＰＬ／３

　ＭＢ＝（＋５Ｐ／３ｘＬ）＋（－Ｐ／３ｘＬ）
　　　＝４ＰＬ／３

　ＭＥ＝０

　ＭＦ＝（＋５Ｐ／３ｘＬ）＋（－Ｐ／３ｘ３Ｌ）＋（－Ｐｘ２Ｌ）
　　　＝－４ＰＬ／３

　ＭＤ＝０

・・・すみません。　図７は　それと見えないかも知れませんが
曲げモーメントの図です。。。

次へとびま～す