やんどの数学日記

　最近、「物理をやっていく上でもしっかりとした数学知識が必要なんだ」といことに
（今になってようやく）気づき、物理の専門書や論文を読んだあとは数学を勉強するこ
とにしました。

　それで、どのようにして数学を進めたか自分の記録としてつれづれなるままに
パソコンにむかひてページに作ってみました。（ひぐらしは無理そうです）。

　ちゃんと続くかどうか心配です。

　また数学や物理に関してなにかよいアドバイスなどがありましたら、メールをいただけたら幸いです。

下の記事でガンマ関数というのが出ているのですが、やっぱりここに書いておくことにしました。

ガンマ関数

Eulerの第2種積分　Γ(z)=\int_{0}^{\infty} exp(-t)t^(z-1)dt　　［{\Re}z>0］

関数等式　Γ(z+1)=zΓ(z)

Γ(z)Γ(1-z)=\pi/\sin{\pi z}, Γ(z+1/2)Γ(1/2-z)=\pi/\cos{\pi z}

Γ(z)の導関数（ポリ・ガンマ関数）

\psi(z)=\frac{d}{dz}logΓ(z)=\frac{Γ'(z)}{\Γ(z)}　　　（ディ･ガンマ関数）

\psi '(z)=\frac{d}{dz}\psi(z)=\frac{d^2}{dz^2}logΓ(z)　（トリ･ガンマ関数）

よく計算で階乗の式を使うことがあるんだけど、階乗というのは大抵は良く見慣れている n! という正整数の階乗式。でも、実数の階乗式もあるらしく、それが、「階乗関数」というそうな。その形も、x! と書いてあるんだけど、その後の定義がすごい。

つまり、x!=Γ(x+1) なのである。そこで、このΓ関数というのは何かというと、積分式で表わされたもので（ここで書くのがめんどい・・・）、友人によると、

「ガンマ関数が有名になったのはリーマンという人がゼータ関数を研究して

その解析接続がガンマ関数を通じて理解できることを示した、いわゆる関数等式
にガンマ関数が使われてからです。」

ということらしい。「解析接続」？？？「ゼータ関数」（これは見たことがある）・・・。更に調べるべきこと、出現なるか？？？（--;）

この日は朝から予定が大幅に変更して（変更されて）、一日中休息をしていました。夜半、休む間近になってですが、「自然科学者のための数学概論」（寺沢寛一著、岩波書店、改訂版でした。この本は応用編もあります）の「楕円関数論」の所を少しだけ読みました。「楕円関数論」は今年の夏初めて聞いた（つもりだった）のですが、実は私がかなり以前から持っていたこの本の中にちゃんと一章分とって説明がしてありました。

以前、この題目を見た時は何か勘違いをしていたようで、今年の夏受けた講義の内容がこんなに身近にあるとは思ってもみませんでした。

で、この日読んだのは本当にほんのちょっとで、周期関数と相合な点の所だけです。今日はＢＧＭはありません。で、ちょっとよく分からなかったのが、周期関数の周期をωとすると、点a,bを取った時、a-b=ωになる点a,bの事を相合な点と言うのですか？ここで言うa,bって、ｚ平面での点のこと？a,bはベクトル？初っぱなでつまづいていたりして...。（第一、ｚ平面の定義が良く分かっていなかったりする...。）

ずっと以前、S水さんから教えて頂いていた「クランキング公式を準粒子演算子で表し、波動関数と準粒子のエネルギーを求める行列」を、ここ2〜3日導いているのですが、おかしい。マイナスでないといけないところがマイナスにならない...。

解き方を間違えたのだろうか、それとも交換関係の取り方を間違えているのだろうか...。

ちなみにHartree-Fock-Bogoliubov方程式の所では逆にプラスの所がマイナスになってしまう...。マイナスのデーモン。

　核の論文を読んでいるうちにシュレーディンガー方程式を解く際に使われている数学ってなんだろうと思うようになり、この際しっかりと数学の方も調べてみようという気になりました。

　そうやって式をじっくりと見てみると、見知った式でも何の数学分野から出てきているのか良く分からないものが色々とありました。

　そのなかの一つに「リー群論」があります。原子核の核子を生成する演算子や交換関係なんかが「リー代数」から出てきます。しかしながら、以前リー群論の事についてちょこっと勉強しましたが、その本は読み物っぽいもので、結局は詳しい数学理論は分からないままでした。。。

　そこで、とあるMLで「リー代数、ＣＧ係数なんかを勉強するにはどの数学の本が良いですか？」と聞いたところ、Ｍ氏に「リー代数と素粒子論、竹内外史著」を頂きました。

　どうもありがとうございました。

　あとは Wigner-Eckart 理論かぁー・・・。

　今まではウィンドウズをもっぱら使っていたのですが、最近は仕事柄マックで数値計算を行うことが多くなりました。
以前マックにAbsoft fortranをインストールしてもらっていたので、計算をしていくうちにライブラリが必要になってきました。
そこで色々とAbsoftでの数値計算ライブラリの使い方を調べたのですが、今一よく分からない。
そこで「もうこうなったらネット上で探すしかない！」とばかりにYahooやgooで「数値計算ライブラリ」などとキーワード入力してあっちのページやらこっちのページやらに行くことおよそ半日、ついに発見しました。
フリーの数値計算ライブラリ！場所はアメリカ。さすがアメリカ。すごすぎます。ちなみに場所は

http://www.netlib.org　で

日本のミラーサイトは　http://phase.etl.go.jp/netlib/slatec/　です。

　前の日記のあと、やはり実用をかねて「物理数学（応用数学）」を勉強し始めました。
といっても、フーリエ変換や簡単な非斉次微分方程式、積分方程式などは大学の授業で教わったので、
専門の核理論にも出てくる「特殊関数論」などを勉強し始めました。といっても簡単にテキストの最
初から勉強し始めたので、斉次微分方程式、非斉次微分方程式などの解法も読んでいきました。

　ルジャンドルの陪微分方程式、ベッセル方程式、球ベッセル方程式、フロベニウスの級数、グリーン関数、
第2種ルジャンドル陪関数などなど。
純粋数学程の美的センスはありませんがやはり美しい理論の展開に感動です。

　ＢＧＭは秋の長夜にふさわしい「 The Tallis Scolars」のパレストリーナのミサ曲です。
美しい数学論理展開とともに、美しい調べが流れる。数学の理論には静かなミサ曲がふさわしい！と思います。
本当にすばらしい！

＃だからといって物理の理論展開に「ドヴォルジャークの交響曲イタリア」や「マーラーの第5」があうとは思っていません。

＃しかし「ながら」勉強はいけません。

　第20回数理の翼セミナーに参加しました。量子コンピューターや科学における倫理など、
分かりやすい講義もさることながら、純粋数学を勉強する機会がありました。

　ここで特に印象に残っているのは「楕円関数論（入門）」と「ガロア理論入門（の入門）」です。
楕円関数論は分かりにくいところもありましたが、ガロア理論は数学の「美」を体験することができました。
この日から「数学もちゃんと勉強しないといけないんだ！これからは純粋数学も勉強しよう！」と決意を固めた日でした。

　物理を研究しているときは推理小説を読んでいよいよ犯人が分かるかもしれない、というときに感じるような
興奮と動的な魅力を感じるのですが、数学を勉強しているときは静的な「美」を感じるのでした。

2000.5.22　Please mail to: ando@mozart.sp.fukuoka-u.ac.jp

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