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『今月のトピックス』（２００１年４月）
「自動制御」が苦手な？あなたに！－第４回講義
解説の都合上，第２回，第３回講義の内容を再掲して解説する．
［第１回課題の解答］
(1)
(a)前向き伝達関数Ｇ1とＧ2の縦続接続の伝達関数は，
Ｇ1Ｇ2である．
ゆえに，総合伝達関数は，
Ｙ/Ｘ＝Ｇ1Ｇ2/(１＋Ｇ1Ｇ2Ｈ)
である．
(b)内側ループ（＝Ｇ1の直結フィードバック＝フィードバック要素;Ｈ＝１）の伝達関数は，
Ｇ1/(１＋Ｇ1)であり，これとＧ2の縦続接続の伝達関数は，
Ｇ1Ｇ2/(１＋Ｇ1)である．
ゆえに，総合伝達関数は，
Ｙ/Ｘ＝{Ｇ1Ｇ2/(１＋Ｇ1)}/[１＋{(Ｇ1Ｇ2/(１＋Ｇ1)}Ｈ]
＝Ｇ1Ｇ2/(１＋Ｇ1＋Ｇ1Ｇ2Ｈ)
＝Ｇ1Ｇ2/{１＋Ｇ1(１＋Ｇ2)Ｈ}
である．
(c)(b)において，Ｇ1とＧ2を入れ替えた形なので，総合伝達関数は，
Ｙ/Ｘ＝Ｇ1Ｇ2/{１＋Ｇ2(１＋Ｇ1)Ｈ}
である．
(d)内側ループの伝達関数は，
Ｇ1Ｇ2/(１＋Ｇ1Ｇ2)
なので，総合伝達関数は，
Ｙ/Ｘ＝{Ｇ1Ｇ2/(１＋Ｇ1Ｇ2)/[１＋{Ｇ1Ｇ2/(１＋Ｇ1Ｇ2)}Ｈ]
＝Ｇ1Ｇ2/｛１＋Ｇ1Ｇ2(１＋Ｈ)}
である．
(2)
Ｇ1＝2/(1＋s)，Ｇ2＝1/(1+2s)，Ｈ＝1/sを代入した結果を示す．[分母と分子に(1+s)(1+2s)sをかけて通分すればよい．]
(a)2s/(2s3＋3s2＋s＋2)
(b)2s/(2s3＋3s2+5s＋4)
(c)2s/(2s3＋3s2＋2s+3)
(d)2s/(2s3＋3s2＋3s＋1)
ラプラス変換とは？
ラプラス変換は積分変換の一つでその本質的理解には複素関数論が必要である．しかし，複素関数論の理解を待っては埒(ﾗﾁ)が開かないので，本稿では最小限の知識でかつかなり高度な次元まで一応の納得が得られる方法を伝授したい．
それには次のことがらの理解を前提とする．
［前にも述べましたが，ＨＴＭＬ書式では数式表示がなかなか難しく，見にくい場合もあると思いますが，読者にて手直しのうえ学習してください．］
１．複素数の相等
複素数;Ａ＋ｊＢと複素数;Ｃ＋ｊＤ（Ａ～Ｄは実数）が等しいとき，すなわち，
Ａ＋ｊＢ＝Ｃ＋ｊＤ
のときには，
Ａ＝ＣかつＢ＝Ｄ
である．
２．複素数の有理化
１/(Ａ＋ｊＢ)＝(Ａ－ｊＢ)/(Ａ＋ｊＢ)(Ａ－ｊＢ)
＝(Ａ－ｊＢ)/(Ａ2＋Ｂ2)
＝Ａ/(Ａ2＋Ｂ2)－ｊＢ/(Ａ2＋Ｂ2)
３．オイラーの関係式
ｅ（あるいはε）を自然対数の底(ﾃｲ)とするとき，その指数関数;ｅjωtにおいて，次の関係式が成立する．
ｅjωt＝cosωt＋ｊsinωt
この関係を「オイラーの関係式」という．
この式は，ベクトル記号法でもおなじみと思う．
４．ｅat（ａは定数，ｔは変数）のｔに関する微分
ｅatをｔで微分することを考えれば，
(ｅat)’＝ａｅat
とくに，ａ＝１のときには，
(ｅt)’＝ｅt
である．
この例では，ａは実数であることを暗黙の前提としているが，もしａが複素数でもこの関係式は成立する．（本稿では，そのように理解（＝納得）するわけである．）
５．ｅat（ａは定数，ｔは変数）のｔに関する積分
積分は微分の逆演算であるので，
∫ｅatdt＝(１/ａ)ｅat＋Ｃ
である．この場合でもａが複素数でもこの関係式は成立する．
ラプラス変換の定義
時間ｔの関数；f(t)に対して，次の積分変換；
∫0∞f(t)ｅ-stdt
をラプラス変換という．
以下に，電験３種（２種，１種）で必要なラプラス変換の公式を順次求めてみる．
１．f(t)＝ｕ(t)のラプラス変換［ｕ(t)は単位ステップ関数で，t＜0で０，0≦tで１である関数である．あるいは，0≦ｔしか考えないとしたら，f(t)＝１と考えてもよい．］
∫0∞ｕ(t)ｅ-stdt
＝∫0∞ｅ-stdt
＝［－ｅ-st/ｓ］0∞＝(-1/s)(ｅ-∞－ｅ0）
＝(-1/s)(０－１)＝1/s
２．f(t)＝ｔ･ｕ(t)のラプラス変換［このf(t)は単位ランプ関数で，ｔ＜0で０，0≦ｔでｔである関数である．（ｕ(t)は１．の単位ステップ関数）あるいは，0≦ｔしか考えないとしたら，f(t)＝ｔと考えてもよい．］
この単位ランプ関数のラプラス変換を求めるには少しの工夫が必要である．
関数ｕと関数ｖの積；ｕｖの微分について，
(ｕｖ)’＝ｕ’ｖ＋ｕｖ’
の公式が成立するので，
ｕ’ｖ＝(ｕｖ)’－ｕｖ’
である．いま，ｕ＝ｅ-st/(-s)，ｖ＝ｔと置けば，ｕ’＝ｅ-st，ｖ’＝(ｔ)’＝１である．
∴ｅ-st･ｔ＝{ｅ-st･ｔ/(-s)}’－ｅ-st/(-s)
この両辺を０から∞まで積分すれば，
∫0∞ｅ-st･ｔdt＝[ｅ-st･ｔ/(-s)]0∞＋(1/s)∫0∞ｅ-stdt
ここに，左辺は単位ランプ関数のラプラス変換そのものである．また，右辺第１項は０であり，第２項は，１．の結果を参考にすれば，1/s2となるので，結局，単位ランプ関数のラプラス変換は，1/s2となる．
３．指数関数；ｅ-atのラプラス変換
∫0∞ｅ-atｅ-stdt＝∫0∞ｅ-(s+a)tdt
＝[－ｅ-(s+a)t/(s+a)]0∞
＝－(0－1)/（s+a)＝1/(s+a)
すなわち，
・指数関数；ｅ-atのラプラス変換は，１/(ｓ＋ａ)である．
４．cosωt，sinωtのラプラス変換
オイラーの関係式；
ｅjωt＝cosωt＋ｊsinωt
の両辺にｅ-stをかければ，
ｅjωtｅ-st＝cosωtｅ-st＋ｊsinωtｅ-st
両辺をt＝0～∞まで積分すれば，
∫0∞ｅjωtｅ-stdt
＝∫0∞cosωtｅ-stdt＋ｊ∫0∞sinωtｅ-stdt……①
ここで，３．の指数関数；ｅ-atのラプラス変換；1/(s+a)で，ａが複素数の場合にもこのラプラス変換の式が成立するものと仮定する．
①式の左辺でａ＝-jωと置けば，
左辺＝1/(s-jω)＝(s+jω)/{(s-jω)(s+jω)}
＝s/(s2+ω2)+ｊω/(s2+ω2)
この式の実部および虚部がそれぞれ①式の右辺の実部および虚部に等しいのであるから，
∫0∞cosωtｅ-stdt＝s/(s2+ω2)
∫0∞sinωtｅ-stdt＝ω/(s2+ω2)
が成立する．すなわち，
・cosωtのラプラス変換は，s/(s2+ω2)
・sinωtのラプラス変換は，ω/(s2+ω2)
であることが示された．
［通常，cosωtやsinωtのラプラス変換は部分積分法で求めるがここで使った方法に比べはるかに面倒である．公式をある根拠を持って導き出すという意味からはこの方法で十分であると思う．］
４．ｅ-atcosωt，ｅ-atsinωtのラプラス変換
ｅ-atｅjωt＝ｅ-atcosωt＋jｅ-atsinωt
∴ｅ-(a-jω)t＝ｅ-atcosωt＋jｅ-atsinωt
左辺のラプラス変換は，３．においてａのかわりにａ－ｊωと置けば，
1/(s+a-jω)＝(s+a+jω)/{(s+a-jω)(s+a+jω)}
＝(s+a)/{(s+a)2+ω2}+ｊω/{(s+a)2+ω2}
この式の実部がｅ-atcosωtのラプラス変換であり，
虚部がｅ-atsinωtのラプラス変換である．すなわち，
・ｅ-atcosωtのラプラス変換は，(s+a)/{(s+a)2+ω2}
・ｅ-atsinωtのラプラス変換は，ω/{(s+a)2+ω2}
であることが示された．
５．tｅ-atのラプラス変換
tｅ-(s+a)t＝{-ｅ-(s+a)t/(s+a)}'tであるから，
∫0∞tｅ-(s+a)tdt＝[-tｅ-(s+a)t/(s+a)]0∞
+∫0∞(t)'ｅ-(s+a)t/(s+a)dt
右辺第１項は0，第２項は
[-ｅ-(s+a)t/(s+a)2]0∞＝1/(s+a)2
すなわち，tｅ-atのラプラス変換は，1/(s+a)2であることが示された．
ここまでに取り扱った原関数（時間関数）；f(t)とそのラプラス変換；F(s)を再掲すれば，
f(t) ←→ F(s)
・ｕ(t)；単位ステップ関数………１/ｓ
・ｕ(t)･t；単位ランプ関数………１/ｓ2
・ｅ-at…………………………… １/(ｓ＋ａ)
・cosωt……………………… ｓ/(ｓ2＋ω2)
・sinωt……………………… ω/(ｓ2＋ω2)
・ｅ-atcosωt……………… (s+a)/{(s+a)2+ω2}
・ｅ-atsinωt………………… ω/{(s+a)2+ω2}
・tｅ-at……………………………１/(s+a)2
以上の公式を理解し使いこなせれば，一次遅れ系および二次遅れ系までの時間応答などの必要な計算が可能となる．［逆に言えばこれ以外はいらないということであり，自動制御は少なくとも受験というポジションからは易しい・点が取りやすい科目といえるわけである．］
平成１２年電験２種問題の解析
次に示す問題は，いろんな要素を含んだ「教育的」問題であるので，今回と次回にわたりこれを取り上げ詳しく解説することにする．
【問】図に示すフィードバック制御系について，次の問に答えよ．ただし，Ｒ(s)は目標値，Ｃ(s)は制御量，Ｅ(s)は偏差，Ｋ1及びＫ2は定数である．
(1)閉ループ伝達関数；Ｗ(s)＝Ｃ(s)/Ｒ(s)を求めよ．
(2)Ｗ(s)を二次遅れ要素の標準形式で表したときの減衰係数ζが0.5，固有角周波数ωnが10[rad/s]であるとしてＫ1及びＫ2の値を求めよ．
(3)(2)で求めたＫ1及びＫ2の値を用いて，閉ループ伝達関数Ｗe＝Ｅ(s)/Ｒ(s)を求めよ．
(4)(3)の結果を用いて，Ｒ(s)にランプ関数ｒ(t)＝ｔを加えたときの定常速度偏差εsを求めよ．
この問題において．(1)．(2)（あるいは(3)まで）は電験３種に出題されるレベルである．ここでは受験のグレードにこだわらず詳しく解説するので，読者のポジションで適当に取捨選択して学習されたい．
そこで，今月の課題として上記の電験２種問題をベースにしてアレンジした【問Ⅰ】および【問Ⅱ】を出題しておきますので読者にて考えてみてください．
【問Ⅰ】第１図のように一次遅れ要素；{1/(s+1)}にフィードバック要素；Ｋ（定数）を施した制御系において次の問に答えよ．
(1)閉ループ伝達関数（＝総合伝達関数）；Ｗ(s)＝Ｃ(s)/Ｒ(s)を求めよ．
(2)Ｋ＝１（＝直結フィードバック）の場合に，Ｒ(s)＝1/s（＝単位ステップ関数）を入力とした場合の出力；Ｃ1(s)およびＲ(s)＝1/s2（＝単位ランプ関数）を入力した場合の出力；Ｃ2(s)を求めよ．
(3)Ｋ＝２の場合に，Ｒ(s)＝1/sまたはＲ(s)＝1/s2を入力した場合の出力Ｃ3(s)，Ｃ4(s)を求めよ．
(4)Ｃ1(s)～Ｃ4(s)に対する時間関数；ｃ1(t)～ｃ4(t)を求めよ．
(5)第１図において，Ｅ(s)を偏差（エラー；Error)というが，Ｒ(s)＝1/sの時の偏差；Ｅ1(s)およびＲ(s)＝1/s2の時の偏差；Ｅ2(s)を求めよ．
(6)Ｅ1(s)およびＥ2(s)に対する時間関数；ｅ1(t)およびｅ2(t)を求めよ．
(7)十分時間が経ったあとの（＝初期の過渡現象が収まったあとの）ｅ1の値 （＝ｅ1(∞)）を定常位置偏差；Steady_State_Position_Errorまたはオフセット；Offsetという．この値はいくらか．
(8)十分時間が経ったあとの（＝初期の過渡現象が収まったあとの）ｅ2の値 （＝ｅ2(∞)）を定常速度偏差；Steady_State_Velocity_Errorという．この値はいくらか．
(9)ラプラス変換において「最終値の定理」は，
で表される．この定理を用いて定常位置偏差および定常速度偏差の値を求めよ．
【問Ⅱ】第２図に示すフィードバック制御系について，次の問に答えよ．ただし，Ｒ(s)は目標値，Ｃ(s)は制御量，Ｅ(s)は偏差，Ｋ1およびＫ2は正の定数である．
(1)総合伝達関数；Ｗ(s)＝Ｃ(s)/Ｒ(s)を求めよ．
(2)Ｗ(s)を二次遅れ要素の標準形式で表したときの減衰係数ζおよび固有角周波数ωnをＫ1およびＫ2で表せ．
(3)ζ＝0.5，ωn＝10[rad/s]のときのＫ1およびＫ2の値はいくらか．
(4)Ｋ1およびＫ2が(3)で求めた値とするとき，Ｒ(s)＝1/sを入力した場合の出力；Ｃ1(s)およびＲ(s)＝1/s2を入力した場合の出力；Ｃ2(s)を求めよ．
(5)Ｃ1(s)およびＣ2(s)に対する時間関数；ｃ1(t)およびｃ2(t)を求めよ．
(6)Ｋ1およびＫ2が(3)で求めた値とするとき，Ｒ(s)＝1/sを入力した場合の偏差；Ｅ1(s)およびＲ(s)＝1/s2を入力した場合の偏差；Ｅ2(s)を求めよ．
(7)Ｅ1(s)およびＥ2(s)に対する時間関数；ｅ1(t)およびｅ2(t)を求めよ．
(8)定常位置偏差；ｅ1(∞)および定常速度偏差；ｅ2(∞)はいくらとなるか．
(9)ラプラス変換における最終値の定理を用いて(8)の結果を確認せよ．
【問Ⅰ解答】
(1)Ｗ(s)＝Ｇ(s)/{１＋Ｇ(s)Ｈ(s)}＝{1/(s+1)}/[１＋{(１/(s+1)}K]＝1/(s+1+K)
(2)K＝1のときＷ(s)＝1/(s+2)となり，
Ｃ1(s)＝Ｒ(s)Ｗ(s)＝(1/s){1/(s+2)}＝(A/s)＋{B/(s+2)}＝{(A+B)s+2A}/{s(s+1)}と置いて部分分数に展開すれば，
A+B=0，2A=1より，A=1/2，B=-(1/2)
∴Ｃ1(s)＝(1/2)[(1/s)－{1/(s+2)}]となる．
Ｃ2(s)＝Ｒ(s)Ｗ(s)＝(1/s2){1/(s+2)}
＝{A/s2}+(B/s)+{C/(s+2)}＝{(B+C)s2+(A+2B)s+2A}/{s2(s+2)}
と置いて部分分数に展開すれば，
B+C=A+2B=0，2A=1より，A=1/2，B=-(1/4)，C=1/4
∴Ｃ2(s)＝(1/2)(1/s2)－(1/4)[(1/s)－{1/(s+2)}]となる．
(3)K＝2のときＷ(s)＝1/(s+3)となり，
(2)と同じように部分分数展開すれば，
Ｃ3(s)＝(1/s){1/(s+3)}＝(1/3)[(1/s)－{1/(s+3)}]
Ｃ4(s)＝(1/3)(1/s2)－(1/9)[(1/s)－{1/(s+3)}]
となる．
(4)ｃ1(t)＝Ｌ-1{Ｃ1(s)}＝(1/2)(1－ｅ-2t)，
ｃ2(t)＝Ｌｰ1{Ｃ2(s)}＝(1/2)t－(1/4)(1－ｅ-2t)，
ｃ3(t)＝Ｌ-1{Ｃ3(s)}＝(1/3)(1－ｅ-3t)，
ｃ4(t)＝(1/3)t－(1/9)(1－ｅ-3t)となる．
(5)Ｃ＝ＲＷより，Ｅ＝Ｒ－ＫＣ＝Ｒ－ＫＲＷである．またＷ＝1/(s+1+K)より，
Ｅ1(s)＝(1/s)－K/{s(s+1+K)}＝(s+1+K-K)/{s(s+1+K)}＝(s+1)/{s(s+1+K)}
Ｅ2(s)＝(1/s2)－K/{s2(s+1+K)}＝(s+1+K-K)/｛s2(s+1+K)}＝(s+1)/{s2(s+1+K)}である．
(6)Ｅ1(s)＝(A/s)＋B/(s+1+K)＝{(A+B)s＋(1+K)A}/{s(s+1+K)}と置けば，
A+B=1，(1+K)A＝1より，A＝1/(1+K)，B=K/(1+K)
∴Ｅ1(s)＝{1/(1+K)}(1/s)＋{K/(1+K)}{1/(s+1+K)}
∴ｅ1(t)＝1/(1+K)＋{K･(1+K)}ｅ-(1+K)tである．
Ｅ2(s)＝(A/s2)＋(B/s)＋{C/(s+1+K)}＝[(B+C)s2＋{A+(1+K)B}s＋(1+K)A]/{ｓ2(s+1+K)}と置けば，
B+C=0，A+(1+K)B=1，(1+K)A=１より，A=1/(1+K)，B=K/(1+K)2，C=-{K/(1+K)2}
∴ｅ2(t)＝{1/(1+K)}t＋{K/(1+K)2}(1－ｅ-(1+K)t)である．
(7)ｅ1(∞)＝1/(1+K)
ｅ2(∞)＝∞である．
(8)ｅ1(∞)＝lims→0sＥ1(s)＝lims→0{(s+1)/(s+1+K)}＝1/(1+K)
ｅ2(∞)＝lims→0Ｅ2(s)＝lims→0{(s+1)/s(s+1+K)}＝∞である．
【問Ⅱ解答】
(1)内側ループの伝達関数は，
Ｗ1(s)＝{1/(s+1)}/[1+K2{1/(s+1)}]＝1/(s+1+K2)
総合伝達関数は，
Ｗ(s)＝(K1/s){1/(s+1+K2}/[1+(K1/s){1/(s+1+K2}]＝Ｋ1/{s2＋(1+K2)s＋K1}…①
となる．
(2)減衰係数ζ，固有角周波数ωnとしたときの二次遅れ系の標準形式は，
Ｗ(s)＝ωn2/{s2＋2ζωns＋ωn2}…②
である．
①と②を等しいと置けば，
ωn2＝K1
∴ωn＝(K1)1/2
2ζωn＝1+K2より，ζ＝(1+K2)/2ω2＝(1/2)(1＋K2)Ｋ1-1/2
(3)K1＝ωn2＝100
1+K2＝2ζωn＝2×0.5×10＝10
∴K2＝10-1＝9
(4)K1＝100，K2＝9のときの総合伝達関数は，
Ｗ(s)＝100/(s2＋10s＋100)
である．
Ｃ1(s)＝Ｒ1Ｗ(s)＝100/{s(s2＋10s＋100)}
Ｃ2(s)＝Ｒ2Ｗ(s)＝100/{s2(s2＋10s＋100)}
(5)Ｃ1(s)
＝100/[s{(s+5)2＋75}]＝(A/s)＋{B(s+5)＋5√3C}/{(s+5)2＋75}
と置いて通分した分子に注目すれば，［なぜこのように置くかは，前述の公式の導き方を復習されたい．］
(A+B)s2＋(10A＋5B＋5√3C)s＋100A＝100
この式が恒等式として成立するためには，各次数の係数を比較して，
A+B＝10A+5B＋5√3C=0，100A=100
これより，A＝1，B＝-1，C＝-(1/√3)
∴Ｃ1(s)＝(1/s)－[(s+5)＋(1/√3)×5√3)]/{(s+5)2＋(5√3)2}
ｃ1(t)＝Ｌ-1Ｃ1(s)
＝1－{ｅ-5tcos5√3t＋(1/√3)ｅ-5tsin5√3t}
＝1－ｅ-5t{cos5√3t＋(1/√3)sin5√3t}
一応この形で終わらせてもよいが，更に変形（三角関数の合成）すれば，
ｃ1(t)＝1－(2√3/3)ｅ-5tcos{5√3t－(π/6)}
または，
ｃ1(t)＝1－(2√3/3)ｅ-5tsin{5√3t＋(π/3)}
Ｃ2(s)＝100/[s2{(s+5)2＋75}]
＝(A/s2)＋(B/s)＋{C(s+5)＋5√3D}/{(s+5)2＋75}
と置いて通分して分子に注目すれば，
(B+C)s3＋(A+10B+5C+5√3D)s2＋(10A+100B)s＋100A＝100
この式が恒等式として成立するためには，各次数の係数を比較して，
B+C＝(A+10B+5C+5√3D＝10A+100B＝0，100A＝100
これを解けば，
A＝1，B＝-(1/10)，C＝1/10，D＝-(1/10√3)
∴Ｃ2(s)＝(1/s2)－(1/10)(1/s)＋{(1/10)(s+5)－(1/10√3)×5√3}/{(s+5)2＋(5√3)2}
ｃ2(t)＝Ｌ-1Ｃ2(s)
＝t－(1/10)＋(1/10)ｅ-5tcos5√3t－(1/10√3)ｅ-5tsin5√3t
三角関数の合成を使って最終的に整理した形は，
ｃ2(t)＝t－(1/10)＋(√3/15)ｅ-5tcos{5√3t＋(π/6)}
または，
ｃ2(t)＝t－(1/10)＋(√3/15)ｅ-5tsin{5√3t－(π/3)}
(6)Ｅ1(s)＝(1/s)－100/{s(s2＋10s＋100)}
＝(s+10)/(s2＋10s＋100)
Ｅ2(s)＝(1/s2)－100/{s2(s2＋10s＋100)}
＝(s+10)/{s(s2＋10s＋100)}
(7)Ｅ1(s)＝{(s+5)＋(1/√3)×5√3}/{(s+5)2＋(5√3)2}
ｅ1(t)＝Ｌ-1Ｅ1(s)
＝ｅ-5tcos5√3t＋(1/√3)ｅ-5tsin5√3t
＝(2√3/3)ｅ-5tcos{5√3t－(π/6)}
または，
ｅ1(t)＝(2√3/3)ｅ-5tsin{5√3t＋(π/3)}
Ｅ2(s)＝(A/s)＋{B(s+5)＋5√3C}/{(s+5)2＋(5√3)2}
A+B=0，10A+5B+5√3C＝1，100A＝10 を解けば，
A＝1/10，B＝-(1/10)，C＝1/10√3
Ｅ2(s)＝(1/10)(1/s)－(1/10){(s+5)－(1/√3)×5√3}/{(s+5)2＋(5√3)2}
ｅ2(t)＝Ｌ-1Ｅ2(s)
＝(1/10)－(1/10)ｅ-5t{cos5√3t－(1/√3)sin5√3t}
＝(1/10)－(√3/15)ｅ-5tcos{5√3t＋(π/6)}
または，
ｅ2(t)＝(1/10)－(√3/15)ｅ-5tsin{5√3t－(π/3)}
ここで，当然のことながら，
ｅ1(t)＝1－ｃ1(t)
＝(2√3/3)ｅ-5tcos{5√3t－(π/6)}
＝(2√3/3)ｅ-5tsin{5√3t＋(π/3)}
ｅ2(t)＝t－ｃ2(t)
＝(1/10)－(√3/15)ｅ-5tcos{5√3t＋(π/6)}
＝(1/10)－(√3/15)ｅ-5tsin{5√3t－(π/3)}
(8)ｅ1(∞)＝0，ｅ2(∞)＝1/10
(9)ｅ1(∞)＝lims→0{sＥ1(s)}
＝lims→0{s(s+10)/(s2＋10s＋100)}
＝0
ｅ2(∞)＝lims→0{(s+10)/(s2＋10s＋100)}
＝1/10
なお，平成１２年度電験２種問題の解説については，【問Ⅰ解答】および【問Ⅱ解答】に全て尽くされているので読者にて解答作成されたい．
