\documentclass[a4paper,10pt,fleqn]{jreport}


\title{マクロ経済学２前期レポート}
\author{sin}
\date{平成13年7月27日}
\pagestyle{plain}

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\begin{document}
\maketitle

\chapter{新古典派成長理論}


集計的生産関数{} 
$Y=F(K,AL)$ \ ($F(K,AL)$は$K,AL$について一次同次の関数)

資本の限界生産力

\begin{equation}
=\frac{\partial Y(K,AL)}{\partial K} 
\end{equation}

労働の限界生産力

\begin{equation}
=\frac{\partial Y(K,AL)}{\partial AL}
\end{equation}

左辺より右辺を計算する。
\begin{eqnarray}
\frac{\partial F(\frac{K}{AL},1)}{\partial \frac{K}{AL}} 
&=& \frac{\partial (F(K,AL)*\frac{1}{AL})}{\partial K} * \frac{\partial K}{\partial \frac{K}{AL}} \nonumber \\
&=& \frac{\partial F(K,AL)}{\partial K} * \frac{1}{AL} * \frac{1}{\frac{\partial \frac{K}{AL}}{\partial K}} \nonumber \\
&=& \frac{\partial F(K,AL)}{\partial K} \nonumber
\end{eqnarray}


\chapter{最適貯蓄理論}


解くべき問題は、割引率を用いた通時的効用の総和の制約つき最大化問題である。
\begin{equation}
\displaystyle \max_{c_{0}\ldots c_{T-1},k_1\ldots k_{T-1}}W= \sum_{t=0}^{T-1}\rho^{t} U(c_{t})
\end{equation}
\begin{eqnarray}
& & \mathrm{subject\ to}\  (1+n)k_{t+1}-k_t=f(k_t)-c_t \ \ (t=0\ldots T-1)\\ & & \mathrm{given}\ k_0,k_T \nonumber
\end{eqnarray}
(2.2)式を(2.1)式に代入して問題を書き換えると
\begin{eqnarray}
& & \displaystyle \max_{k_{1}\ldots k_{T-1}}W= \sum_{t=0}^{T-1}\rho^{t} U(f(k_t)+k_t-(1+n)k_{t+1}) \\ & & \mathrm{given}\  k_0,k_T \nonumber
\end{eqnarray}
と資本ストックについてのみの関数とできる。この問題の１階の条件は、
\begin{eqnarray}
\frac{\partial W}{\partial k_t} &=& \frac{U\acute{}(f(k_t)+k_t-(1+n)k_{t+1})}{(1+\rho)^t}*(f\acute{}(k_t)+1) \nonumber \\ & & +\frac{U\acute{}(f(k_{t-1})+k_{t-1}-(1+n)k_{t})}{(1+\rho)^{t-1}}*(-(1+n)) = 0
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
& & \iff \frac{U\acute{}(f(k_t)+k_t-(1+n)k_{t+1})}{(1+\rho)^t}*(1+f\acute{}(k_t)) \nonumber \\ & & \ \ \ \ \ \ \ =\frac{U\acute{}(f(k_{t-1})+k_{t-1}-(1+n)k_{t})}{(1+\rho)^{t-1}}*(1+n) \\
& & \iff \frac{U\acute{}(c_t)}{(1+\rho)^t}*(1+f\acute{}(k_t))=\frac{U\acute{}(c_{t-1})}{(1+\rho)^{t-1}}*(1+n)
\end{eqnarray}
(2.6)式はケインズ＝ラムゼイ条件の変形版であり、これで答えが示された。


\chapter{技術進歩と成長}
ヒックス中立型生産関数がヒックス中立を満たすことの証明。

\begin{eqnarray}
& &\tilde{F}(K,L)がヒックス中立(\tilde{F}(K,L)=A_H F(K,L)) \nonumber \\
& &\iff \displaystyle\frac{K}{L}=\displaystyle\frac{K\acute{}}{L\acute{}},\ L\neq L\acute{}\Rightarrow \displaystyle\frac{r}{w}:constant
\end{eqnarray}

ただし、$\displaystyle\frac{r}{w}$は以下の問題を解くことで得られる。
\begin{eqnarray}
& &\displaystyle\max_{K,L} \ \Pi(K,L)=pY-rK-wL \\
& &\mathrm{subject\ to}\ Y=\tilde{F}(K,L) \\
& &(3.3)式を(3.2)式に代入して１階の条件を求めると \\
& &\frac{\partial \Pi}{\partial K}=p\frac{\partial \tilde{F}(K,L)}{\partial K}-r=0 \iff pA_H \frac{\partial F(K,L)}{\partial K}=r \\
& &\frac{\partial \Pi}{\partial L}=p\frac{\partial \tilde{F}(K,L)}{\partial L}-w=0 \iff pA_H \frac{\partial F(K,L)}{\partial L}=w \\ \nonumber
\end{eqnarray}
(3.5)式、(3.6)式より$\displaystyle\frac{r}{w}$を求めると、$f(k)\equiv F(\frac{K}{L},1),k\equiv \frac{K}{L} $として
\begin{eqnarray}
\displaystyle\frac{r}{w} &=& \displaystyle\frac{pA_H \frac{\partial F(K,L)}{\partial K}}{pA_H \frac{\partial F(K,L)}{\partial L}} \nonumber\\
&=& \displaystyle\frac{\frac{\partial F(K,L)}{\partial K}}{\frac{\partial F(K,L)}{\partial L}} \nonumber\\
&=& \displaystyle\frac{\frac{\partial (F(\frac{K}{L},1))*L}{\partial K}}{\frac{\partial (F(\frac{K}{L},1))*L}{\partial L}} \nonumber\\
&=& \displaystyle\frac{f\acute{}(k)*\frac{1}{L}*L}{f\acute{}(k)*(-\frac{K}{L^2})*L+f(k)} \nonumber\\
&=& \displaystyle\frac{f\acute{}(k)}{f(k)-f\acute{}(k)*k} \nonumber
\end{eqnarray}
このように$\displaystyle\frac{r}{w}$を求めると、それが$k$のみについての関数で表現されることがわかる。したがって、$k$が一定のとき（(3.1)式の前提が成立するとき）には$\displaystyle\frac{r}{w}$が一定値を取ることがいえ、ヒックス中立が証明される。

\end{document}