\documentclass[a4paper,10pt,fleqn]{jarticle}


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\section*{付録1　ソロー残差の導出}
まず、以下のように記号を定義する

Y:生産量　K:資本ストック量　L:労働量（労働者*労働時間）A:技術

p:生産物価格　r:単位資本コスト　w:単位貨幣賃金 

ヒックス中立型の集計的生産関数{} 
$Y=AF(K,L)$ \ についてのソロー残差を考える。($F(K,L)$は$K,L$について一次同次の関数と仮定)

まず、生産関数の両辺を対数にする。
\begin{equation}
\ln (Y)= \ln (A)+ \ln (F(K,L)) \nonumber
\end{equation}

つぎに両辺を時間について微分
\begin{equation}
\frac{d \ln (Y)}{d t}=\frac{d \ln (A)}{d t}+\frac{d\ln (F(K,L))}{d t} \nonumber
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{\frac{d Y}{d t}}{Y}=\frac{\frac{d A}{d t}}{A}+\frac{\frac{\partial F(K,L)}{\partial K}}{F}\frac{d K}{d t}+\frac{\frac{\partial F(K,L)}{\partial L}}{F}\frac{d L}{d t}
\end{equation}

ここで、以下のように記号を用い式を簡略化することにする。
\begin{eqnarray}
\dot{A}\equiv\frac{d A}{d t} \ \ 
\dot{Y}\equiv\frac{d Y}{d t} \ \ 
\dot{K}\equiv\frac{d K}{d t} \ \ 
\dot{L}\equiv\frac{d L}{d t} \nonumber \\
F_K\equiv\frac{\partial F(K,L)}{\partial K}\ \ 
F_L\equiv\frac{\partial F(K,L)}{\partial L}
\end{eqnarray}

(3)に(4)を代入して変形すると、
\begin{equation}
\frac{\dot{Y}}{Y}=\frac{\dot{A}}{A}+\frac{F_K K}{F}\frac{\dot{K}}{K}+\frac{F_L L}{F}\frac{\dot{L}}{L}
\end{equation}

ここで$F$は$K$と$L$について一次同次関数なのでオイラーの定理\footnote{
一般に$F(X_1\ldots X_n)$が$X_1\ldots X_n$についてk次同次関数のとき
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sum^n_{i=1}\frac{\partial F}{\partial X_i}X_i=nF(X_1\ldots X_n) \nonumber
\end{eqnarray}
が成立する。
}より
\begin{eqnarray}
F_K K+F_L L=F \nonumber
\end{eqnarray}

両辺を$F$で割ると
\begin{equation}
\frac{F_K K}{F}+\frac{F_L L}{F}=1
\end{equation}

ここで以下の利潤最大化問題を考える。(完全競争の仮定）

\ \ \ $\displaystyle \max_{K,L}\ \ \ pY-rK-wL$

$\mathrm{subject\ to}\ Y=AF(K,L)$


上の目的関数の$Y$に制約式を代入し、$K$と$L$について１階の条件を求めると、

資本の限界生産力＝実質単位資本コスト

\begin{equation}
\frac{\partial pAF(K,L)}{\partial K}=r\iff F_K=\frac{r}{pA}
\end{equation}

労働の限界生産力＝実質単位貨幣賃金

\begin{equation}
\frac{\partial pAF(K,L)}{\partial L}=w\iff F_L=\frac{w}{pA}
\end{equation}

の２つの条件が求まる。

(7),(8)式を(6)式に代入し、$Y=AF$より
\begin{eqnarray}
\frac{rK}{pY}+\frac{wL}{pY}=1 \nonumber
\end{eqnarray}

ここで労働分配率を$\theta\equiv\displaystyle\frac{rK}{pY}$とおくと粗利潤分配率は$1-\theta\equiv\displaystyle\frac{wL}{pY}$となる。ここで、資本と労働について完全分配が成り立っていることに注意。

一方、$\theta\equiv\displaystyle\frac{rK}{pY}=\frac{F_K K}{F}$であり、$1-\theta\equiv\displaystyle\frac{wL}{pY}=\frac{F_L L}{F}$であるので、これを(5)式に代入してまとめると
\begin{eqnarray}
\frac{\dot{Y}}{Y}=\frac{\dot{A}}{A}+\theta\frac{\dot{K}}{K}+(1-\theta)\frac{\dot{L}}{L} \nonumber
\end{eqnarray}
上の式を$A$の成長率についてまとめると
\begin{eqnarray}
\frac{\dot{A}}{A}=\frac{\dot{Y}}{Y}-\bigg(\theta\frac{\dot{K}}{K}+(1-\theta)\frac{\dot{L}}{L}\bigg) 
\end{eqnarray}

(9)式は、(技術進歩率)=(生産量の変化率)-(生産要素投入量の加重和)となっていることがわかる。この左辺がソロー残差である。

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\section*{付録２　付論１の補足}
\subsection{ヒックス中立な生産関数}

ヒックス中立な生産関数とは、$\tilde{F}(K,L;A_H)\equiv\ A_HF(K,L)$となる生産関数であり（$F$は一次同次）、ヒックス中立（1人あたり資本が一定なら生産要素価格費が一定、そして生産要素額の比も不変となる）を満たす唯一の関数型である。

ヒックス中立型生産関数がヒックス中立を満たすことの証明。
\begin{eqnarray}
& &\tilde{F}(K,L;A_H)がヒックス中立(\tilde{F}(K,L;A_H)=A_H F(K,L)) \nonumber \\
& &\iff \bigg(\displaystyle\frac{K}{L}=\displaystyle\frac{K\acute{}}{L\acute{}},\ L\neq L\acute{}\Rightarrow \displaystyle\frac{r}{w}:const.\Rightarrow \displaystyle\frac{rK}{wL}:const.\bigg)
\end{eqnarray}

ただし、$\displaystyle\frac{r}{w}$は以下の問題を解くことで得られる。
\begin{eqnarray}
& &\displaystyle\max_{K,L} \ \Pi(K,L)=pY-rK-wL \\
& &\mathrm{subject\ to}\ Y=\tilde{F}(K,L) \\
& &(12)式を(11)式に代入して１階の条件を求めると \nonumber \\
& &\frac{\partial \Pi}{\partial K}=p\frac{\partial \tilde{F}(K,L)}{\partial K}-r=0 \iff pA_H \frac{\partial F(K,L)}{\partial K}=r \\
& &\frac{\partial \Pi}{\partial L}=p\frac{\partial \tilde{F}(K,L)}{\partial L}-w=0 \iff pA_H \frac{\partial F(K,L)}{\partial L}=w \\ \nonumber
\end{eqnarray}
(13)式、(14)式より$\displaystyle\frac{r}{w}$を求めると、$f(k)\equiv F(\frac{K}{L},1),k\equiv \frac{K}{L} $として
\begin{eqnarray}
\displaystyle\frac{r}{w} &=& \displaystyle\frac{pA_H \frac{\partial F(K,L)}{\partial K}}{pA_H \frac{\partial F(K,L)}{\partial L}} \nonumber\\
&=& \displaystyle\frac{\frac{\partial F(K,L)}{\partial K}}{\frac{\partial F(K,L)}{\partial L}} \nonumber\\
&=& \displaystyle\frac{\frac{\partial (F(\frac{K}{L},1))L}{\partial K}}{\frac{\partial (F(\frac{K}{L},1))L}{\partial L}} \nonumber\\
&=& \displaystyle\frac{f\acute{}(k)\frac{1}{L}L}{f\acute{}(k)(-\frac{K}{L^2})L+f(k)} \nonumber\\
&=& \displaystyle\frac{f\acute{}(k)}{f(k)-f\acute{}(k)k} \nonumber
\end{eqnarray}
このように、$\displaystyle\frac{r}{w}$を求めるとそれが$k$のみについての関数で表現されることがわかる。したがって、$k$が一定のとき（(10)式の右辺の最初の前提が成立するとき）には$\displaystyle\frac{r}{w}$が一定となることが言え、ヒックス中立が証明される。

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\subsection{(2)式の導出}

\vspace{3mm}
ヒックス中立型生産関数$Y=AF(K,L)$を全微分する。
\begin{eqnarray}
dY&=&F(K,L)dA+AdF \nonumber \\
  &=&F(K,L)dA+A(F_KdK+F_LdL)
\end{eqnarray}

まず、技術進歩がない場合の限界費用を求める。($dA=0$を仮定)

\vspace{3mm}
$C\equiv\ rK+wL$と費用を定義する。

$K$を$dK$、$L$を$dL$だけ増加させると、(15)式より
\begin{eqnarray}
dY=A(F_K dK+F_L dL)(dA=0より)\nonumber 
\end{eqnarray}
だけ生産量が増加し、
\begin{eqnarray}
dC=rdK+wdL\nonumber 
\end{eqnarray}
だけ追加の費用が増加するので、限界費用を、
\begin{eqnarray}
限界費用(MC)\equiv\frac{dk,dLの増加時の費用の増加分}{dk,dLの増加時の生産量の増加分} \nonumber
\end{eqnarray}と定義すると、
\begin{eqnarray}
MC&=&\frac{dC}{A(F_K dK+F_L dL)} \nonumber \\
   &=&\frac{rdK+wdL}{dY}
\end{eqnarray}
と求まる。

次に、技術進歩がある場合の限界費用を求める。($dA\neq 0$を仮定)

(15)式より
\begin{eqnarray}
A(F_K dK+F_L dL)&=&dY-F(K,L)dA \nonumber \\
&=&dY-F(K,L)A\frac{dA}{A} \nonumber \\
&=&dY-YdlnA
\end{eqnarray}
したがって、$MC$も(16)式と違う値になる。ここで(17)式を用いて$MC$を書き換えると、
\begin{eqnarray}
MC&=&\frac{dC}{A(F_K dK+F_L dL)} \nonumber \\
   &=&\frac{rdK+wdL}{dY-YdlnA}
\end{eqnarray}
となり、付論１(2)式が得られる。
\vspace{4mm}

なお、付論１(3)式〜(4)式の導出の際、p=MC（完全競争）が仮定されていることに注意。

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\subsection{(8)式の導出}

\vspace{4mm}
付論１(6)式の両辺に$\alpha_{VA,t}\Delta l_t$を加えた式は以下のようになる。
\begin{eqnarray}
\Delta q^k_{VA,t}=\hat{\mu}_{VA,t}\alpha_{VA,t}\Delta l_t+\theta_{VA}+\epsilon_{VA,t}
\end{eqnarray}
(19)式と$\Delta z$との共分散を求めると、
\begin{eqnarray}
\mathrm{cov}(\Delta q^k_{VA,t},\Delta z)&=&\mathrm{cov}(\hat{\mu}_{VA,t}\alpha_{VA,t}\Delta l_t+\theta_{VA}+\epsilon_{VA,t},\Delta z) \nonumber \\
&=&\hat{\mu}_{VA,t}\mathrm{cov}(\alpha_{VA,t}\Delta l_t,\Delta z) \\
& &(\mathrm{cov}(\epsilon_{VA,t},\Delta z)=0,\  \hat{\mu}_{VA,t},{}\theta_{VA}:const.より) \nonumber
\end{eqnarray}
(20)式を$\hat{\mu}_{VA,t}$についてまとめると、
\begin{eqnarray}
\hat{\mu}_{VA,t}=\frac{\mathrm{cov}(\Delta q^k_{VA,t},\Delta z)}{\mathrm{cov}(\alpha_{VA,t}\Delta l_t,\Delta z)}
\end{eqnarray}
これにより付論1(8)式は得られた。



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\subsection{(15)式の導出}

$P_{G,t}=MC_{G,t}$のとき
\begin{eqnarray}
\frac{\Delta Q_{G,t}}{Q_{G,t}}=\frac{\Delta A_t}{A_t}+\frac{wL_t}{MC_{G,t}Q_{G,t}}\frac{\Delta L_t}{L_t}+\frac{p_MM_t}{MC_{G,t}Q_{G,t}}\frac{\Delta M_t}{M_t}+\frac{rK_t}{MC_{G,t}Q_{G,t}}\frac{\Delta K_t}{K_t} \nonumber 
\end{eqnarray}
$\frac{wL_t}{MC_{G,t}Q_{G,t}}+\frac{p_MM_t}{MC_{G,t}Q_{G,t}}+\frac{rK_t}{MC_{G,t}Q_{G,t}}=1$(一次同次,完全競争の仮定より)
であり、また$\mu_{G,t}\equiv\frac{P_{G,t}}{MC_{G,t}}$,$\alpha_{G,t}\equiv\frac{wL_t}{MC_{G,t}Q_{G,t}}$,$\gamma_t\equiv\frac{p_MM_t}{MC_{G,t}Q_{G,t}}$と定義すると$\frac{rK_t}{MC_{G,t}Q_{G,t}}=1-\alpha_{G,t}-\gamma_t$より
\begin{eqnarray}
\bigg(\frac{\Delta Q_{G,t}}{Q_{G,t}}-\frac{\Delta K_t}{K_t}\bigg)-\alpha_{G,t}\bigg(\frac{\Delta L_t}{L_t}-\frac{\Delta K_t}{K_t}\bigg)-\gamma_t\bigg(\frac{\Delta M_t}{M_t}-\frac{\Delta K_t}{K_t}\bigg)=\frac{\Delta A_t}{A_t} \nonumber 
\end{eqnarray}
ここで、$\Delta q^k_{G,t}\equiv\frac{\Delta Q_{G,t}}{Q_{G,t}}-\frac{\Delta K_t}{K_t}$, $\Delta l_t\equiv\frac{\Delta L_t}{L_t}-\frac{\Delta K_t}{K_t}$, $\Delta m_t\equiv\frac{\Delta M_t}{M_t}-\frac{\Delta K_t}{K_t}$,
 $\theta_{G,t}\equiv\frac{\Delta A_t}{A_t}$と定義し、$\theta_{G,t}=\theta_G+\epsilon_{G,t}$とすると
\begin{eqnarray}
\Delta q^k_{G,t}-(\alpha_{G,t}\Delta l_t+\gamma_t\Delta m_t)=\theta_G+\epsilon_{G,t} \nonumber 
\end{eqnarray}
\vspace{3mm}
$P_{G,t}\neq MC_{G,t}$のとき

$\mu_{G,t}\equiv\frac{P_{G,t}}{MC_{G,t}}$を定義し、$\alpha_{G,t}\Delta l_t+\gamma_t\Delta m_t$の項にかけて変形すれば(15)式が求まる。




\vspace{10mm}

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\subsection{(22)式の導出}


\vspace{4mm}

収入に占める生産要素$J$の所得のシェア$S_j\equiv\displaystyle\frac{p_JJ}{P_GQ_G}$$(J=L,M,K)$
,総費用に占める生産要素$J$の所得のシェア$c_J\equiv\displaystyle\frac{p_JJ}{wL+p_MM+rK}$$(J=L,M,K)$と定義されているので付論１(17)式は(20)式より
\begin{eqnarray}
\Delta q_G&=&\mu_G(S_L\Delta l+S_M\Delta m+S_K\Delta k)+\theta_G \nonumber \\
&=&\mu_G\frac{wL+p_MM+rK}{P_GQ_G}(c_L\Delta l+c_M\Delta m+c_K\Delta k)+\theta_G \nonumber \\
&=&\mu_G(1-S_{\pi})c_L\Delta l+c_M\Delta m+c_K\Delta k)+\theta_G \nonumber \\
&=&\delta_G(c_L\Delta l+c_M\Delta m+c_K\Delta k)+\theta_G
\end{eqnarray}
これにより付論1(22)式は得られた。

\vspace{3mm}
\end{document}