再度、フーリエ級数を書いておきます。

　　　　 ａ０
ｆ（ｘ）＝----＋ａ１ｃｏｓ（ｘ）＋ｂ１ｓｉｎ（ｘ）＋ａ２ｃｏｓ（２ｘ）＋ｂ２ｓｉｎ（２ｘ）＋........＋ａｎｃｏｓ（ｎｘ）＋ｂｎｓｉｎ（ｎｘ）＋........
　　　　　２
　π　　　　　　　　　　　　　　　　 １　　π
∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝π・ａ０　　∴ａ０＝----∫ｆ（ｘ）ｄｘ
−π　　　　　　　　　　　　　　　　π　−π
　π　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１　　π
∫ｆ（ｘ）ｃｏｓ（ｎｘ）ｄｘ＝π・ａｎ　　∴ａｎ＝----∫ｆ（ｘ）ｃｏｓ（ｎｘ）ｄｘ
−π　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 π　−π
　π　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 １　　π
∫ｆ（ｘ）ｓｉｎ（ｎｘ）ｄｘ＝π・ｂｎ　　∴ｂｎ＝----∫ｆ（ｘ）ｓｉｎ（ｎｘ）ｄｘ
−π　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　π　−π


　簡単にフーリエ係数が求められる関数の第一は、矩形波関数です。−π〜０が−１、０〜πが１と定めます。それが、周期２πで繰り返すわけです。それを、ｆ（ｘ）とします。ｆ（ｘ）は奇関数ですから、係数ａｎは自動的に０となります（ｃｏｓ（ｎｘ）は、偶関数ですから）。


ｆ（ｘ）＝｛１　（０≦ｘ≦π），−１　（−π≦ｘ≦０）｝

　　　　　　π
πｂ１＝２∫ｓｉｎ（ｘ）ｄｘ
　　　　　　０
　　　　　　　　　　　　π
　　　＝２［−ｃｏｓ（ｘ）］＝−２（−１−１）＝４
　　　　　　　　　　　　０
　　　　　　π
πｂ２＝２∫ｓｉｎ（２ｘ）ｄｘ
　　　　　　０
　　　　　　 −ｃｏｓ（２ｘ）　π
　　　＝２［-----------］＝−（１−１）＝０
　　　　　　　　　 ２　　　　０
　　　　　　π
πｂ３＝２∫ｓｉｎ（３ｘ）ｄｘ
　　　　　　０
　　　　　　 −ｃｏｓ（３ｘ）　π　−２　　　　　　　　　 ４
　　　＝２［-----------］＝----（−１−１）＝----
　　　　　　　　　 ３　　　　０　　３　　　　　　　　　　３
　　　　　　π
πｂ４＝２∫ｓｉｎ（４ｘ）ｄｘ
　　　　　　０
　　　　　　 −ｃｏｓ（４ｘ）　π　−１
　　　＝２［-----------］＝----（１−１）＝０
　　　　　　　　　 ４　　　　０　　２

　というわけで、矩形波のフーリエ級数は、こうなります。

　　　　　４　　　　　　　　 １
ｆ（ｘ）＝----｛ｓｉｎ（ｘ）＋----ｓｉｎ（３ｘ）＋・・・・・・・・｝
　　　　　π　　　　　　　　　３



　簡単にフーリエ係数が求められる関数の第二は、ノコギリ波関数です。−π〜πで、原点を通る傾き１の直線と定めます。それが、周期２πで繰り返すわけです。それを、ｆ（ｘ）とします。同様に、ｆ（ｘ）は奇関数ですから、係数ａｎは自動的に０となります。

ｆ（ｘ）＝ｘ　　（-π≦ｘ≦π）

　　　　　　π
πｂ１＝２∫ｘｓｉｎ（ｘ）ｄｘ
　　　　　　０
　　　　　　　　　　　　　　π　　 π
　　　＝２｛［−ｘｃｏｓ（ｘ）］＋∫ｃｏｓ（ｘ）ｄｘ｝＝−２（−π−０）＝２π
　　　　　　　　　　　　　　０　　０
　　　　　　π
πｂ２＝２∫ｘｓｉｎ（２ｘ）ｄｘ
　　　　　　０
　　　　　　　−ｘｃｏｓ（２ｘ） π　　π　ｃｏｓ（２ｘ）
　　　＝２｛［-----------］＋∫----------ｄｘ｝＝−（π−０）＝−π
　　　　　　　　　　 ２　　　　０　 ０　　　２
　　　　　　π
πｂ３＝２∫ｘｓｉｎ（３ｘ）ｄｘ
　　　　　　０
　　　　　　　−ｘｃｏｓ（３ｘ） π　　π　ｃｏｓ（３ｘ）　　　　−２　　　　　　　　　２
　　　＝２｛［-----------］＋∫----------ｄｘ｝＝----（−π−０）＝----π
　　　　　　　　　　 ３　　　　０　 ０　　　３　　　　　　　　３　　　　　　　　　３
　　　　　　π
πｂ４＝２∫ｘｓｉｎ（４ｘ）ｄｘ
　　　　　　０
　　　　　　　−ｘｃｏｓ（４ｘ） π　　π　ｃｏｓ（４ｘ）　　　　−１　　　　　　 −１
　　　＝２｛［-----------］＋∫----------ｄｘ｝＝----（π−０）＝----π
　　　　　　　　　　 ４　　　　０　 ０　　　４　　　　　　　 ２　　　　　　　　２

　というわけで、ノコギリ波のフーリエ級数は、こうなります。

　　　　　　　　　　　　 １　　　　　　　　　１　　　　　　　　 １
ｆ（ｘ）＝２｛ｓｉｎ（ｘ）−----ｓｉｎ（２ｘ）＋----ｓｉｎ（３ｘ）−----ｓｉｎ（４ｘ）＋・・・・・・・・｝
　　　　　　　　　　　　 ２　　　　　　　　　３　　　　　　　　 ４

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