毎度のことですが、まず、フーリエ級数を、下に書いておきました。
ａ０
ｆ（ｘ）＝----＋ａ１ｃｏｓ（ｘ）＋ｂ１ｓｉｎ（ｘ）＋ａ２ｃｏｓ（２ｘ）＋ｂ２ｓｉｎ（２ｘ）＋........＋ａｎｃｏｓ（ｎｘ）＋ｂｎｓｉｎ（ｎｘ）＋........
２
π １ π
∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝π・ａ０ ∴ａ０＝----∫ｆ（ｘ）ｄｘ
−π π −π
π １ π
∫ｆ（ｘ）ｃｏｓ（ｎｘ）ｄｘ＝π・ａｎ ∴ａｎ＝----∫ｆ（ｘ）ｃｏｓ（ｎｘ）ｄｘ
−π π −π
π １ π
∫ｆ（ｘ）ｓｉｎ（ｎｘ）ｄｘ＝π・ｂｎ ∴ｂｎ＝----∫ｆ（ｘ）ｓｉｎ（ｎｘ）ｄｘ
−π π −π
オイラーの公式（下）をつかって、フーリエ級数を変形していきます。下準備に、いくつか、関係式を求めておきます。
ｅ＾（ｉｘ）＝ｃｏｓｘ＋ｉｓｉｎｘ
ｅ＾（−ｉｘ）＝ｅ＾｛ｉ（−ｘ）｝＝ｃｏｓ（−ｘ）＋ｉｓｉｎ（−ｘ）＝ｃｏｓｘ−ｉｓｉｎｘ
ｅ＾（ｉｘ）＋ｅ＾（−ｉｘ） ｅ＾（ｉｘ）−ｅ＾（−ｉｘ）
---------------＝ｃｏｓｘ， ----------------＝ｓｉｎｘ
２ ２ｉ
フーリエ級数の一般項を変形していきます。
ｅ＾（ｉｎｘ）＋ｅ＾（−ｉｎｘ） ｅ＾（ｉｎｘ）−ｅ＾（−ｉｎｘ）
ａｎｃｏｓ（ｎｘ）＋ｂｎｓｉｎ（ｎｘ）＝ａｎ------------------＋ｂｎ------------------
２ ２ｉ
ｅ＾（ｉｎｘ）＋ｅ＾（−ｉｎｘ） ｅ＾（ｉｎｘ）−ｅ＾（−ｉｎｘ）
＝ａｎ------------------−iｂｎ------------------
２ ２
ａｎ−ｉｂｎ ａｎ＋ｉｂｎ
＝--------ｅ＾（ｉｎｘ）＋--------ｅ＾（−ｉｎｘ）
２ ２
複素フーリエ級数の係数を、次のように決めると、
ａｎ−ｉｂｎ ａｎ＋ｉｂｎ ａ０
ｃｎ＝-------- （ｎが正の場合）， ｃｎ＝-------- （ｎが負の場合）， ｃ０＝----
２ ２ ２
複素フーリエ級数は、次のようになりました。
∞
ｆ（ｘ）＝ 狽モ獅＾（ｉｎｘ）
ｎ＝−∞
確かに、ｃｎ、は、こう決めていいのか、確認のために計算してみると、普通のフーリエ級数の係数は、次のようになりますから、
１ π １ π
ａｎ＝----∫ｆ（ｘ）ｃｏｓ（ｎｘ）ｄｘ， ｂｎ＝----∫ｆ（ｘ）ｓｉｎ（ｎｘ）ｄｘ
π −π π −π
ｎ、が正の場合は、当然、
ａｎ−ｉｂｎ １ π １ π
ｃｎ＝--------＝----∫ｆ（ｘ）｛ｃｏｓ（ｎｘ）−ｉｓｉｎ（ｎｘ）｝ｄｘ＝----∫ｆ（ｘ）ｅ＾（−ｎｘ）ｄｘ
２ ２π −π ２π −π
ｎ、が負の場合は、
ａｎ＋ｉｂｎ １ π １ π
ｃｎ＝--------＝----∫ｆ（ｘ）｛ｃｏｓ（ｎｘ）＋ｉｓｉｎ（ｎｘ）｝ｄｘ＝----∫ｆ（ｘ）ｅ＾（ｎｘ）ｄｘ
２ ２π −π ２π −π
たしかに、これは、ｎ、が正の場合の、ｎ、を、−ｎ、に置き換えたものですし、ｎ＝０、の場合は、ｂ０、は存在しませんが、あるとして計算してみると、
ａ０−ｉｂ０ １ π １ π
ｃ０＝--------＝----∫ｆ（ｘ）｛ｃｏｓ（０ｘ）−ｉｓｉｎ（０ｘ）｝ｄｘ＝----∫ｆ（ｘ）ｄｘ
２ ２π −π ２π −π
となり、複素フーリエ級数の、係数の決め方が、理にかなっている事がわかります。複素フーリエ級数と、その係数を、整理して、書いておきました。
∞
ｆ（ｘ）＝ 狽モ獅＾（ｉｎｘ） （ｎは整数）
ｎ＝−∞
１ π
ｃｎ＝----∫ｆ（ｘ）ｅ＾（−ｎｘ）ｄｘ
２π −π
複素フーリエ級数は、単に、フーリエ級数を、複素数をつかって、書き換えたに過ぎませんが、さらに、フーリエ変換を考えるときに、威力を発揮します。