ラプラス変換とは、下のような積分の式をいいます。ラプラス変換を使うと、線形（まあ、一般的な）の、実数係数の微分方程式が、「簡単に」（といわれていますが、そうでもないです。まあ、他の方法を使うよりは、一般解法的に、定型的に解けはしますが）解けます。
まずは、ラプラス変換の性質（これは、結構、不思議です。むつかしい式に、ラプラス変換をすると、妙に簡単な式に、変わってしまいますから）を、下に、並べていきたいと思います。計算が楽になるように、ｓ＝α＋ｉβ，α＞０、とか、ａ＜α，ｓ＝α＋ｉβ、とか、いろいろ条件をつけています（私の勝手に）。
∞
Ｌ［ｆ（ｔ）］（ｓ）＝∫ｆ（ｔ）ｅ＾（−ｓｔ）ｄｔ＝Ｆ（ｓ） （ｓ＝α＋ｉβ，α＞０）
０
１を、ラプラス変換します。これは、もちろん、もとの式より、むつかしい式になります。
∞
Ｌ［１］（ｓ）＝∫ｅ＾（−ｓｔ）ｄｔ
０
ｅ＾（−ｓｔ） ∞
＝［---------］
−ｓ ０
１ １
＝０−----＝----
−ｓ ｓ
ｔ、ｔ＾２、ｔ＾３、........、ｔ＾ｎを、ラプラス変換します。残念ながら、これらは、もとの式より、むつかしい式になります。
∞
Ｌ［ｔ］（ｓ）＝∫ｔｅ＾（−ｓｔ）ｄｔ
０
ｅ＾（−ｓｔ）∞ ∞ ｅ＾（−ｓｔ）
＝［ｔ --------］−∫ ---------ｄｔ
−ｓ ０ ０ −ｓ
１ ∞ １
＝［０−０］＋----∫ｅ＾（−ｓｔ）ｄｔ＝-----
ｓ ０ ｓ＾２
∞
Ｌ［ｔ＾２］（ｓ）＝∫（ｔ＾２）ｅ＾（−ｓｔ）ｄｔ
０
ｅ＾（−ｓｔ）∞ ∞ ｅ＾（−ｓｔ）
＝［ｔ＾２--------］−∫ ２ｔ ---------ｄｔ
−ｓ ０ ０ −ｓ
２ ∞ ２
＝［０−０］＋----∫ｔｅ＾（−ｓｔ）ｄｔ＝-----
ｓ ０ ｓ＾３
∞
Ｌ［ｔ＾３］（ｓ）＝∫（ｔ＾３）ｅ＾（−ｓｔ）ｄｔ
０
ｅ＾（−ｓｔ）∞ ∞ ｅ＾（−ｓｔ）
＝［ｔ＾３--------］−∫ ３ｔ＾２ ---------ｄｔ
−ｓ ０ ０ −ｓ
３ ∞ ３！
＝［０−０］＋----∫（ｔ＾２）ｅ＾（−ｓｔ）ｄｔ＝-----
ｓ ０ ｓ＾４
ｎ！
Ｌ［ｔ＾ｎ］（ｓ）＝----------
ｓ＾（ｎ＋１）
上の変換の系列をつかうと、ｔの多項式は、下のように、変換されます。ちょっと、おもしろいと思いませんか。
Ｌ［ｔ＾３＋ａｔ＾２＋ｂｔ＋ｃ］（ｓ）＝Ｌ［ｔ＾３］（ｓ）＋ａＬ［ｔ＾２］（ｓ）＋ｂＬ［ｔ］（ｓ）＋ｃＬ［１］（ｓ）
３！ ２ａ ｂ ｃ
＝-----＋-----＋-----＋-----
ｓ＾４ ｓ＾３ ｓ＾２ ｓ
ｅ＾（ａｔ）をラプラス変換します。これは、簡単な分数の式になります。この性質が、あとでいろいろ役に立ちます。
∞
Ｌ［ｅ＾（ａｔ）］（ｓ）＝∫ｅ＾（ａｔ）ｅ＾（−ｓｔ）ｄｔ （ａ＜α，ｓ＝α＋ｉβ）
０
∞
＝∫ｅ＾｛（ａ−ｓ）ｔ｝ｄｔ
０
ｅ＾｛（ａ−ｓ）ｔ｝ ∞ １ １
＝［------------］＝０−-----＝-----
ａ−ｓ ０ ａ−ｓ ｓ−ａ
（ ∵ｅ＾｛（ａ−ｓ）ｔ｝＝ｅ＾［｛ａ−（α＋ｉβ）｝ｔ］＝ｅ＾［｛（ａ−α）−ｉβ｝ｔ］＝ｅ＾｛（ａ−α）ｔ｝ｅ＾｛（−ｉβ）ｔ｝、で、
ｔ →∞、のとき、ｅ＾｛（ａ−α）ｔ｝→０（∵ａ＜α）、で、ｅ＾｛（ａ−ｓ）ｔ｝→０、になるから ）
ｃｏｓ（ａｔ）をラプラス変換します。無理関数（もうひとつ、意味がわかりません）が、単なる分数の式になります。
ｅ＾（ｉａｔ）＋ｅ＾（−ｉａｔ）
Ｌ［ｃｏｓ（ａｔ）］（ｓ）＝Ｌ［------------------］（ｓ）
２
１
＝----｛Ｌ［ｅ＾（ｉａｔ）］（ｓ）＋Ｌ［ｅ＾（−ｉａｔ）］（ｓ）｝
２
１ １ １ １ ２ｓ ｓ
＝----（------＋------）＝----（-----------）＝----------
２ ｓ−ｉａ ｓ＋ｉａ ２ ｓ＾２＋ａ＾２ ｓ＾２＋ａ＾２
（ ∵ｅ＾（ｉａｔ）＋ｅ＾（−ｉａｔ）＝｛ｃｏｓ（ａｔ）＋ｉｓｉｎ（ａｔ）｝＋｛ｃｏｓ（ａｔ）−ｉｓｉｎ（ａｔ）｝＝２ｃｏｓ（ａｔ） ）
ｓｉｎ（ａｔ）をラプラス変換します。ｃｏｓ（ａｔ）同様、単なる分数の式になります。
ｅ＾（ｉａｔ）−ｅ＾（−ｉａｔ）
Ｌ［ｓｉｎ（ａｔ）］（ｓ）＝Ｌ［------------------］（ｓ）
２ｉ
１
＝----｛Ｌ［ｅ＾（ｉａｔ）］（ｓ）−Ｌ［ｅ＾（−ｉａｔ）］（ｓ）｝
２i
１ １ １ １ ２ｉａ ａ
＝----（------−------）＝----（-----------）＝----------
２ｉ ｓ−ｉａ ｓ＋ｉａ ２i ｓ＾２＋ａ＾２ ｓ＾２＋ａ＾２
（ ∵ｅ＾（ｉａｔ）−ｅ＾（−ｉａｔ）＝｛ｃｏｓ（ａｔ）＋ｉｓｉｎ（ａｔ）｝−｛ｃｏｓ（ａｔ）−ｉｓｉｎ（ａｔ）｝＝２ｉｓｉｎ（ａｔ） ）
ｆ（ｔ）にｅ＾（ａｔ）をかけたものをラプラス変換しますと、ｆ（ｔ）をラプラス変換したものの、引数だけを変化させたものになります。
∞
Ｌ［ｅ＾（ａｔ）ｆ（ｔ）］（ｓ）＝∫ｅ＾（ａｔ）ｆ（ｔ）ｅ＾（−ｓｔ）ｄｔ （ａは実数，ａ＜α（ｓ＝α＋ｉβ，α＞０））
０
∞
＝∫ｆ（ｔ）ｅ＾｛（ａ−ｓ）ｔ｝ｄｔ
０
∞
＝∫ｆ（ｔ）ｅ＾｛−（ｓ−ａ）ｔ｝ｄｔ＝Ｆ（ｓ−ａ）
０
下に、いくつか例を書くと、ラプラス変換は、複雑な関数ほど、簡単な式に変換してくれることが、わかります。
１
Ｌ［ｔｅ＾（ａｔ）］（ｓ）＝---------
（ｓ−ａ）＾２
２
Ｌ［（ｔ＾２）ｅ＾（ａｔ）］（ｓ）＝---------
（ｓ−ａ）＾３
ｓ−ｂ
Ｌ［ｅ＾（ｂｔ）ｃｏｓ（ａｔ）］（ｓ）＝---------------
（ｓ−ｂ）＾２＋ａ＾２
ａ
Ｌ［ｅ＾（ｂｔ）ｓｉｎ（ａｔ）］（ｓ）＝---------------
（ｓ−ｂ）＾２＋ａ＾２
微分の式をラプラス変換します。微分の項が消え、定数の項（ｆ（０））が、あらわれました。
∞
Ｌ［ｆ’（ｔ）］（ｓ）＝∫ｆ’（ｔ）ｅ＾（−ｓｔ）ｄｔ
０
∞ ∞
＝［ｆ（ｔ）ｅ＾（−ｓｔ）］−（−ｓ）∫ｆ（ｔ）ｅ＾（−ｓｔ）ｄｔ
０ ０
∞
＝０−ｆ（０）＋ｓ∫ｆ（ｔ）ｅ＾（−ｓｔ）ｄｔ
０
＝−ｆ（０）＋ｓＬ［ｆ（ｔ）］（ｓ）＝−ｆ（０）＋ｓＦ（ｓ）
２階（なんで、こんな言い方をするのでしょう）の微分の式をラプラス変換します。やはり、微分の項が消えました。
Ｌ［ｆ’’（ｔ）］（ｓ）＝−ｆ’（０）＋ｓＬ［ｆ’（ｔ）］（ｓ）
＝−ｆ’（０）＋ｓ｛−ｆ（０）＋ｓＬ［ｆ（ｔ）］（ｓ）｝
＝−ｆ’（０）−ｓｆ（０）＋ｓ＾２Ｌ［ｆ（ｔ）］（ｓ）＝−ｆ’（０）−ｓｆ（０）＋ｓ＾２Ｆ（ｓ）
３階の微分の式をラプラス変換します。同様に、微分の項が消えます。
Ｌ［ｆ’’’（ｔ）］（ｓ）＝−ｆ’’（０）＋ｓＬ［ｆ’’（ｔ）］（ｓ）
＝−ｆ’’（０）＋ｓ｛−ｆ’（０）−ｓｆ（０）＋ｓ＾２Ｌ［ｆ（ｔ）］（ｓ）｝
＝−ｆ’’（０）−ｓｆ’（０）−ｓ＾２ｆ（０）＋ｓ＾３Ｌ［ｆ（ｔ）］（ｓ）＝−ｆ’’（０）−ｓｆ’（０）−ｓ＾２ｆ（０）＋ｓ＾３Ｆ（ｓ）
ｎ階の微分の式をラプラス変換しますと、微分の項が消え、定数の項と、定数とｓの累乗との積の項が、あらわれます。ここまでくると、式が簡単になっているのかどうか、私には、言えません。
Ｌ［ｆ’’（ｎ）’（ｔ）］（ｓ）＝−ｆ’’（ｎ−１）’（０）−ｓｆ’’（ｎ−２）’（０）−........−ｓ＾（ｎ−１）ｆ（０）＋ｓ＾ｎＬ［ｆ（ｔ）］（ｓ）
＝−ｆ’’（ｎ−１）’（０）−ｓｆ’’（ｎ−２）’（０）−........−ｓ＾（ｎ−１）ｆ（０）＋ｓ＾ｎＦ（ｓ）
微分の式のラプラス変換で出てきた、ｆ’’（ｎ）’（０）、というのは、初期値（微分方程式とすると）で、最初の位置とか、初速度とか、いったもので、これを考えに入れると、式が非常に複雑になるので、ここから以降、基本的には、初期値は０、ｆ’’（ｎ）’（０）＝０として、考えをすすめていきたいと思います。なぜなら、私が限界だからです。
運動方程式から、いってみましょう。別に、ラプラス変換をつかう必要も、ないですが。
ｍａ＝Ｆ ｍｘ’’（ｔ）＝Ｆ
式を、一般化すると、
ｘ’’（ｔ）＝ａ
ラプラス変換し（ｘ（ｔ）→Ｘ（ｓ））、Ｘ（ｓ）について、式を整理すると、
ａ
（ｓ＾２）Ｘ（ｓ）＝-----
ｓ
ａ ａ ２
Ｘ（ｓ）＝-----＝-----・-----
ｓ＾３ ２ ｓ＾３
そして、逆変換すると、微分方程式が解けている、というわけです。
ａ
ｘ（ｔ）＝-----ｔ＾２
２
空気抵抗を考えにいれた、落下の微分方程式です。
ｍｖ’（ｔ）＋ｍｇ＋ｋｖ（ｔ）＝０
運動方程式同様、式を一般化して、
ｖ’（ｔ）＋ａｖ（ｔ）＋ｂ＝０
ラプラス変換し、Ｖ（ｓ）について、整理すると、
ｂ
ｓＶ（ｓ）＋ａＶ（ｓ）＋-----＝０
ｓ
−ｂ
（ｓ＋ａ）Ｖ（ｓ）＝-----
ｓ
−ｂ Ａ Ｂ
Ｖ（ｓ）＝--------＝-----＋-----
ｓ（ｓ＋ａ） ｓ ｓ＋ａ
式が複雑になると、ここでひとつ、手順が増えます。部分分数展開ということをしなければ、解けません。
両辺に、ｓ、をかけてから、ｓ＝０、とすると、Ａ、が求まります。両辺に、ｓ＋ａ、をかけてから、ｓ＝−ａ、とすると、Ｂ、が求まります。
−ｂ −ｂ
ｓＶ（ｓ）｜＝ -----｜＝ Ａ ＝ -----
s=0 ｓ＋ａ s=0 ａ
−ｂ ｂ
（ｓ＋ａ）Ｖ（ｓ）｜＝ -----｜＝ Ｂ ＝ -----
s=-a ｓ s=-a ａ
これで、式が、逆変換がつかえる状態に、なりました。
−ｂ／ａ ｂ／ａ
Ｖ（ｓ）＝-------＋-----
ｓ ｓ＋ａ
逆変換をおこなうと、落下（空気抵抗あり）の微分方程式が、解けました。
−ｂ ｂ
ｖ（ｔ）＝-----＋-----ｅ＾（−ａｔ）
ａ ａ
定電圧のＬＲＣ回路の、微分方程式です。
ｑ（ｔ）
Ｌｑ’’（ｔ）＋Ｒｑ’（ｔ）＋-----＝Ｅ
Ｃ
式を、一般化します。
ｑ’’（ｔ）＋ａｑ’（ｔ）＋ｂｑ（ｔ）＝ｃ
ラプラス変換し、Ｑ（ｓ）について、式を整理し、部分分数展開をつかって、式を変形すると、
ｃ
（ｓ＾２）Ｑ（ｓ）＋ａｓＱ（ｓ）＋ｂＱ（ｓ）＝-----
ｓ
ｃ
（ｓ＾２＋ａｓ＋ｂ）Ｑ（ｓ）＝-----
ｓ
ｃ ｃ ｃ
Ｑ（ｓ）＝---------------＝-------------------------------＝----------------------- （ａ＝２ａ’）
ｓ（ｓ＾２＋ａｓ＋ｂ） ｓ（ｓ＾２＋２ａ’ｓ＋ａ’＾２−ａ’＾２＋ｂ） ｓ｛（ｓ＋ａ’）＾２−ａ’＾２＋ｂ｝
ｃ Ａ Ｂ
＝--------------------＝-----＋----------------- （−ａ’＾２＋ｂ＝ｂ’＾２、あとの計算が、楽です）
ｓ｛（ｓ＋ａ’）＾２＋ｂ’＾２｝ ｓ （ｓ＋ａ’）＾２＋ｂ’＾２
ｃ ｃ
ｓＱ（ｓ）｜＝ -----------------｜＝ Ａ ＝ ------------
s=0 （ｓ＋ａ’）＾２＋ｂ’＾２ s=0 ａ’＾２＋ｂ’＾２
ｃ ｃ
｛（ｓ＋ａ’）＾２＋ｂ’＾２｝Ｑ（ｓ）｜＝ -----｜＝ Ｂ ＝ ----------
(s+a')^2+b'^2=0 ｓ ~=0 −ａ’±ｉｂ’
ｃ／（ａ’＾２＋ｂ’＾２） ｃ／（−ａ’±ｉｂ’） ｂ’
Ｑ（ｓ）＝-----------------＋-----------------・------------------
ｓ ｂ’ （ｓ＋ａ’）＾２＋ｂ’＾２
逆変換をすると、ＬＲＣ回路の微分方程式が、解けました。う〜ん、これで、簡単に解けたと、言えるのかどうか。
ｃ ｃ
ｑ（ｔ）＝-------------＋------------- ｅ＾（−ａ’ｔ）ｓｉｎ（ｂ’ｔ）
ａ’＾２＋ｂ’＾２ （−ａ’±ｉｂ’）ｂ’
（ ∵（ｓ＋ａ’）＾２＋ｂ’＾２＝０， （ｓ＋ａ’）＾２＝−ｂ’＾２， ｓ＋ａ’＝±ｉｂ’， ｓ＝−ａ’±ｉｂ’ ）
正弦波電圧をかけた（ｃｏｓ関数をつかっていますが、ｃｏｓ関数をつかうのが、普通のようです。）、ＬＲＣ回路の微分方程式です。
ｑ（ｔ）
Ｌｉ’（ｔ）＋Ｒｉ（ｔ）＋-----＝Ｅｃｏｓ（ωｔ）
Ｃ
両辺を微分して、右辺がｓｉｎ関数になるようにします。ラプラス変換したとき、ｓｉｎ関数のほうが、式の形が簡単なんです。
ｉ（ｔ）
Ｌｉ’’（ｔ）＋Ｒｉ’（ｔ）＋-----＝ωＥｓｉｎ（ωｔ）
Ｃ
式を一般化し、ラプラス変換し、式を整理し、部分分数展開をつかって、式を変形します。
ｉ’’（ｔ）＋ａｉ’（ｔ）＋ｂｉ（ｔ）＝ｃｓｉｎ（ｄｔ）
ｄ
（ｓ＾２）ｉ（ｓ）＋ａｓｉ（ｓ）＋ｂｉ（ｓ）＝ｃ ----------
ｓ＾２＋ｄ＾２
ｃｄ
（ｓ＾２＋ａｓ＋ｂ）ｉ（ｓ）＝----------
ｓ＾２＋ｄ＾２
ｃｄ ｃｄ
ｉ（ｓ）＝--------------------------＝----------------------------------------- （ａ＝２ａ’）
（ｓ＾２＋ｄ＾２）｛（ｓ＾２＋ａｓ＋ｂ）｝ （ｓ＾２＋ｄ＾２）（ｓ＾２＋２ａ’ｓ＋ａ’＾２−ａ’＾２＋ｂ）
ｃｄ Ａ Ｂ
＝------------------------------＝----------＋-----------------
（ｓ＾２＋ｄ＾２）｛（ｓ＋ａ’）＾２＋ｂ’＾２｝ ｓ＾２＋ｄ＾２ （ｓ＋ａ’）＾２＋ｂ’＾２
（−ａ’＾２＋ｂ＝ｂ’＾２、上に書いたように、あとの計算が、楽になるようにです）
ｃｄ ｃｄ
（ｓ＾２＋ｄ＾２）Ｉ（ｓ）｜＝ -----------------｜＝ Ａ ＝ -------------------
s^2+d^2=0 （ｓ＋ａ’）＾２＋ｂ’＾２ ~=0 （ａ’±ｉｄ）＾２＋ｂ’＾２
ｃｄ ｃｄ
｛（ｓ＋ａ’）＾２＋ｂ’＾２｝Ｉ（ｓ）｜＝ -----------｜＝ Ｂ ＝ ---------------------
(s+a')^2+b'^2=0 ｓ＾２＋ｄ＾２ ~=0 （−ａ’±ｉｂ’）＾２＋ｂ’＾２
ｃｄ／｛（ａ’±ｉｄ）＾２＋ｂ’＾２｝ ｄ ｃｄ／｛（−ａ’±ｉｂ’）＾２＋ｂ’＾２｝ ｂ’
Ｉ（ｓ）＝------------------------・----------＋---------------------------・-----------------
ｄ ｓ＾２＋ｄ＾２ ｂ’ （ｓ＋ａ’）＾２＋ｂ’＾２
逆変換をすると、目的の微分方程式が、解けました。う〜ん、むつかしい。
ｃ ｃｄ
ｉ（ｔ）＝------------------ ｓｉｎ（ｄｔ）＋------------------------- ｅ＾（−ａ’ｔ）ｓｉｎ（ｂ’ｔ）
（ａ’±ｉｄ）＾２＋ｂ’＾２ ｂ’｛（−ａ’±ｉｂ’）＾２＋ｂ’＾２｝
（ ∵ｓ＾２＋ｄ＾２＝０， ｓ＾２＝−ｄ＾２， ｓ＝±ｉｄ ）
ここまでやってみて、ラプラス変換のいいところを考えてみると、ラプラス変換をつかうと、ほかの方法に比べて、技巧的なことを考える必要がなく、ほとんど、代数的に解くことができる、ということでしょうか。簡単とは、言い難いと思いますが、感覚的には、代数方程式の一般解法に近い、ように、私は感じました。
ああ、苦しかった。