３次方程式の一般解法について考えたこと

　３次方程式の一般解法について、書くまえに、まず、２次方程式の一般解法を、学校でならったのとは、違ったアプローチで、見い出さなければなりません。その違ったアプローチを、３次に拡張したものが、３次方程式にの一般解法なのです。当然、このアプローチでの、２次方程式の解の公式は、表面上、学校で習ったものとは、違ったものになります。
　この方法が、むずかしいと感じる人もいれば、むしろ、わかりやすいと感じる人も、当然、おられるでしょう。すこし長くなりますが、がまんして読んでいただけたら、幸いです。証明そのものは、むつかしくはないと信じたいです。

　一般の２次方程式を書きました。

ａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃ＝０

　両辺を、ａ、で割り、係数を決めなおします。

ｘ＾２＋ｂ’ｘ＋ｃ’＝０

　ここで、下の式を使って、式を、Ｘの式に書きなおします。
　　　　　ｂ’
Ｘ＝ｘ＋----
　　　　　２
　その書きなおしていく過程は、下のようになります。
　　　　ｂ’　　　　　　　　　　ｂ’
（Ｘ－----）＾２＋ｂ’（Ｘ－----）＋ｃ’
　　　　２　　　　　　　　　　２
　　　　　　　　　　　　　　ｂ’＾２　　　　　　ｂ’＾２
　　　　＝Ｘ＾２－ｂ’Ｘ＋------＋ｂ’Ｘ－------＋ｃ’
　　　　　　　　　　　　　　　４　　　　　　　　　２
　　　　　　　　　　ｂ’＾２
　　　　＝Ｘ＾２－------＋ｃ’＝０
　　　　　　　　　　　４
　これで、違ったアプローチによる、２次方程式の解の公式が、見いだされました。学校でならったものとは、すこし違いますが、私の計算過程に間違いがなければ、あらわしている内容は同じなんです。
　　　　　ｂ’＾２
Ｘ＾２＝------－ｃ’
　　　　　　４
　　　　　　　　ｂ’＾２
∴Ｘ＝±√（------－ｃ’）
　　　　　　　　　４

　さて、３次方程式です。最初のところは、２次方程式と同様です。

ａｘ＾３＋ｂｘ＾２＋ｃｘ＋ｄ＝０

　両辺を、ａ、で割り、係数を決めなおし、

ｘ＾３＋ｂ’ｘ＾２＋ｃ’ｘ＋ｄ’＝０

　下の式を使って、式を、Ｘの式に書きなおします。
　　　　　ｂ’
Ｘ＝ｘ＋----
　　　　　３
　書きなおしていく過程は、下のようになります。
　　　　ｂ’　　　　　　　　　　ｂ’　　　　　　　　　ｂ’
（Ｘ－----）＾３＋ｂ’（Ｘ－----）＾２＋ｃ’（Ｘ－----）＋ｄ’
　　　　３　　　　　　　　　　３　　　　　　　　　　３
　　　　　　　　　　　　　　　　　ｂ’＾２　　ｂ’＾３
　　　　＝Ｘ＾３－ｂ’（Ｘ＾２）＋-----Ｘ－-----
　　　　　　　　　　　　　　　　　　３　　　　２７
　　　　　　　　　　　　　　２　　　　　ｂ’＾２
　　　　　＋ｂ’（Ｘ＾２－----ｂ’Ｘ＋-----）
　　　　　　　　　　　　　　３　　　　　　９
　　　　　　　　　　　ｂ’ｃ’
　　　　　＋ｃ’Ｘ－-----＋ｄ’
　　　　　　　　　　　３
　　　　　　　　　　　　ｂ’＾２　　　　　　　　２　　　　　　ｂ’ｃ’
　　　　＝Ｘ＾３＋（－-----＋ｃ’）Ｘ＋（----ｂ’＾３－-----＋ｄ’）＝０
　　　　　　　　　　　　　３　　　　　　　　　２７　　　　　　３
　さて、３次方程式の場合、再度、ここで、複雑になってしまった係数を決めなおします。

Ｘ＾３＋ｐＸ＋ｑ＝０

　さらに、下の式をつかって、今度は、ｕ、ｖの式に書き直します。一見、式がより複雑（未知数が増えて）になったように見えますが、ここのところが、みそなんです。

Ｘ＝ｕ＋ｖ

　書きなおしていく過程は、下のようになります。

（ｕ＋ｖ）＾３＋ｐ（ｕ＋ｖ）＋ｑ

　　　　＝ｕ＾３＋ｖ＾３＋３ｕｖ（ｕ＋ｖ）＋ｐ（ｕ＋ｖ）＋ｑ

　　　　＝ｕ＾３＋ｖ＾３＋（３ｕｖ＋ｐ）（ｕ＋ｖ）＋ｑ＝０

　ここで、下のように決めます。これは、ｕとｖの関係式を与えることになり、これで、ｖはｕの関数となり（もしくは、ｕはｖの関数となり）、Ｘ＝ｕ＋ｖとしたことと、あわせて、Ｘの式を、ｕの式（もしくは、ｖの式）に書きなおしたことになります。

ｕ＾３＋ｖ＾３＋ｑ＝０................①

　これで、複雑だった３次方程式が、いっきに簡単になりました。ここで、ぴんと来られた方も、おられると思いますが、これで、３次方程式を、２次方程式をつかって、解く準備が整ったわけです。

３ｕｖ＋ｐ＝０

　　　　　　　　　　　ｐ＾３
∴ｕ＾３・ｖ＾３＝－-----................②
　　　　　　　　　　　２７

　①と②から、ｕ＾３とｖ＾３を解とする２次方程式がきまりました。さて、この２次方程式を解いていきましょう。

　　　　　　　ｐ＾３
ｔ＾２＋ｑｔ－-----＝０
　　　　　　　２７

　２次方程式の解の公式を使いました(ずるいですか？)。

　　　１　　　　　　　　　　　　４
ｔ＝----｛－ｑ±√（ｑ＾２＋----ｐ＾３）｝
　　　２　　　　　　　　　　　　２７

　ｕ＾３とｖ＾３は、次のようになりました。

　　　　　１　　　　　　　　　　　　４
ｕ＾３＝----｛－ｑ＋√（ｑ＾２＋----ｐ＾３）｝
　　　　　２　　　　　　　　　　　　２７
　　　　　１　　　　　　　　　　　　４
ｖ＾３＝----｛－ｑ－√（ｑ＾２＋----ｐ＾３）｝
　　　　　２　　　　　　　　　　　　２７

　３乗根をとりますと、次のようになります。

　　3　　　１　　　　　　　　　　　　４
ｕ＝√［----｛－ｑ＋√（ｑ＾２＋----ｐ＾３）｝］
　　　　　２　　　　　　　　　　　　２７
　　3　　　１　　　　　　　　　　　　４
ｖ＝√［----｛－ｑ－√（ｑ＾２＋----ｐ＾３）｝］
　　　　　２　　　　　　　　　　　　２７

　Ｘ＝ｕ＋ｖでしたから、これで、一応、３次方程式の解のうちの、１つは求まったことになりますが、解はまだ、残り２つあります。
　１の３乗根を記号で、１、ω、ω＾２、とあらわすことを知っておられる方は、多いと思います。
　ｕ＾３、ｖ＾３の式の複雑な部分を、Ａ、Ｂであらわして、ｕ＾３、ｖ＾３のすべての３乗根を求めてみます。しかし、これでは、組み合わせが多すぎるので、条件にあう、３つの、ｕ＋ｖ、を見つけなければなりません。
　　3　　　　　3　　　　　　 3
ｕ＝√Ａ，　ω√Ａ，　ω＾２√Ａ

　　3　　　　　3　　　　　　 3
ｖ＝√Ｂ，　ω√Ｂ，　ω＾２√Ｂ

　そこで、ずっと上で出てきた、単純化された３次方程式をつかいます。下に、もう一度、書きました。これを、満たす、ｕ、ｖを見つければいいわけです。
　ここで、ｐが実数であるということを思い出せば（なにも、書いていませんでしたが、係数はすべて実数と仮定していました）、簡単に選び出せます。ωは、３乗して、１（実数）になる数でした。

３ｕｖ＋ｐ＝０

　ωの性質から、条件を満たす（３ｕｖが実数になる）組み合わせは、下の３つしか、ありません。

　　　　　3　　3
３ｕｖ＝３√Ａ√Ｂ＝－ｐ

　　　　　　　3　　　　　　3
３ｕｖ＝３（ω√Ａ）（ω＾２√Ｂ）＝－ｐ

　　　　　　　　 3　　　　 3
３ｕｖ＝３（ω＾２√Ａ）（ω√Ｂ）＝－ｐ

　これで、残っていた２つの３次方程式の解が、求まりました。下に、３つの解をまとめて、なかよく書いておきました。

　　3　　　3　　　　　3　　　　　　3　　　　　　 3　　　　 3
Ｘ＝√Ａ＋√Ｂ，　ω√Ａ＋ω＾２√Ｂ，　ω＾２√Ａ＋ω√Ｂ

　ここまでの過程で、複雑化した係数を、何度も１文字にまとめて来ましたが、それを順次展開していけば、もともとの係数の解の公式が求まると思いますが、私にはとても、それをやる気力はありません。ここまでに、させてください。