指数関数をつかった微分方程式の解き方

　指数関数をつかっても、微分方程式は解けます。ここでは、ラプラス変換では解きにくい、右辺が０の微分方程式を、指数関数を使った方法で、解いてみました。

　①：２次方程式に似た微分方程式。解いていく過程も、２次方程式に似ています。係数は、解が簡単になるように、とってあります。

ｘ’’（ｔ）＋２ａｘ’（ｔ）＋（ｂ＾２）ｘ（ｔ）＝０

ｘ（ｔ）＝ｅ＾（ｋｔ）　　ｘ’（ｔ）＝ｋｅ＾（ｋｔ）　　’’ｘ（ｔ）＝（ｋ＾２）ｅ＾（ｋｔ）

（ｋ＾２＋２ａｋ＋ｂ＾２）ｅ＾（ｋｔ）＝０

ｋ＝－ａ±√（ａ＾２－ｂ＾２）

ｘ（ｔ）＝ｅ＾［｛－ａ＋√（ａ＾２－ｂ＾２）｝ｔ］，　ｅ＾［｛－ａ－√（ａ＾２－ｂ＾２）｝ｔ］

　よって、解は、下に書いたようになりました。

ｘ（ｔ）＝Ａｅ＾［｛－ａ＋√（ａ＾２－ｂ＾２）｝ｔ］＋Ｂｅ＾［｛－ａ－√（ａ＾２－ｂ＾２）｝ｔ］

　　＝ｅ＾（－ａ）［Ａｅ＾｛ｔ√（ａ＾２－ｂ＾２）｝＋Ｂｅ＾｛ｔ√（ａ＾２－ｂ＾２）｝］　　　　（Ａ，Ｂは、任意の定数。）

　②：①の微分方程式から、（ｂ＾２）ｘ（ｔ）の項をのぞいた、微分方程式。

ｘ’’（ｔ）＋２ａｘ’（ｔ）＝０

（ｋ＾２＋２ａｋ）ｅ＾（ｋｔ）＝ｋ（ｋ＋２ａ）ｅ＾（ｋｔ）＝０

ｋ＝０，　－２ａ

　解は、下のようになります。

ｘ（ｔ）＝Ａ＋Ｂｅ＾（－２ａｔ）　　　　（Ａ，Ｂは、任意の定数。）

　③：①の微分方程式から、２ａｘ’（ｔ）の項をのぞいた、微分方程式。

ｘ’’（ｔ）＋（ｂ＾２）ｘ（ｔ）＝０

（ｋ＾２＋ｂ＾２）ｅ＾（ｋｔ）＝０

ｋ＝±ｉｂ

　指数関数の引数が、虚数になったので、それが実数になるように、ひと工夫します。

ｘ（ｔ）＝Ａｅ＾（ｉｂｔ）＋Ｂｅ＾（－ｉｂｔ）

　　＝Ａ｛ｃｏｓ（ｂｔ）＋ｉｓｉｎ（ｂｔ）｝＋Ｂ｛ｃｏｓ（ｂｔ）－ｉｓｉｎ（ｂｔ）｝

　　＝（Ａ＋Ｂ）ｃｏｓ（ｂｔ）＋ｉ（Ａ－Ｂ）ｓｉｎ（ｂｔ）

　Ａ，Ｂは、任意の定数ですから、Ａ，Ｂを下のように定めますと、式を変形できて、

　　　α＋ｉβ　　　　　 α－ｉβ
Ａ＝------，　Ｂ＝------
　　　　２　　　　　　　　２

ｘ（ｔ）＝αｃｏｓ（ｂｔ）－βｓｉｎ（ｂｔ）

　ここで、下のような、三角関数をつかった定数を考えると、さらに、式を変形できて、

　　　　　　　　　α　　　　　　　　　　　　　　　　β
ｃｏｓγ＝--------------，　ｓｉｎγ＝--------------
　　　　　√（α＾２＋β＾２）　　　　　　　√（α＾２＋β＾２）

　解は、下のようになりました。

ｘ（ｔ）＝√（α＾２＋β＾２）｛ｃｏｓγｃｏｓ（ｂｔ＋γ）－ｓｉｎγｓｉｎ（ｂｔ＋γ）｝

　　＝√（α＾２＋β＾２）ｃｏｓ（ｂｔ＋γ）