テイラー級数の展開公式は下に書いたようになるんですが、正確にいうと、ａの近傍において、と注釈がつくんですが、私が初めてこの展開公式を見たとき、「ａの近傍」では引っかかるし、最後の「ξ」が関わる項が複雑怪奇に見えて、手に負えるような気がまったくしなかったわけです。
　今は、テイラー展開が平均値の定理の拡張だということがわかっていますから、最後のξのある項が平均値の定理の拡張の結果、現われた項だということは、ぴんと来ますし、最後の項は平均値の定理の式に似通っていますしね。
　でも、それだけだったら、ふーんそういうことなのかと、それでけのことで、そのうち忘れてしまって、今、こうして、ホームページにしてみようなんて、絶対思わなかったに違いないんです。何かに応用できそうにも見えませんしね。
　でも、そうでもなかったんですね。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｆ’’（ａ）　　　　　　　　　　　　　　　ｆ’’’（ｎ−１）’（ａ）　　　　　　　 ｆ’’’（ｎ）’（ξ）
ｆ（ｘ）＝ｆ（ａ）＋（ｘ−ａ）ｆ’（ａ）＋（ｘ−ａ）＾２------＋........＋（ｘ−ａ）＾（ｎ−１）--------------＋（ｘ−ａ）＾ｎ-----------
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２！　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ｎ−１）！　　　　　　　　　　　　 ｎ！

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ξ＝ａ＋θ（ｘ−ａ）　　（０＜θ＜１）


　まず、テイラー展開公式を無限級数として、とらえます。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｆ’’（ａ）　　　　　　　　　　　 ｆ’’’（ｎ）’（ａ）
ｆ（ｘ）＝ｆ（ａ）＋（ｘ−ａ）ｆ’（ａ）＋（ｘ−ａ）＾２------＋........＋（ｘ−ａ）＾ｎ-----------＋........
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２！　　　　　　　　　　　　　　　ｎ！


　それから、「ａの近傍」が面倒なので、ａ＝０として、単純化します（こいつをマクローリン級数というんだそうです）。

　　　　　　　　　　　　　　　　　ｆ’’（０）　　　　　　　 ｆ’’’（ｎ）’（０）
ｆ（ｘ）＝ｆ（０）＋ｘｆ’（０）＋ｘ＾２------＋........＋ｘ＾ｎ------------＋........
　　　　　　　　　　　　　　　　　　２！　　　　　　　　　　　ｎ！


　ここまで持ってくると、いろいろやれるわけです。下に、ｘの多項式を書いてみましたが、そいつをどんどん微分していくだけで、その多項式の係数が、次々決まっていくわけです。
　まず、ｘに０を代入します。

ｆ（ｘ）＝ａ０＋ａ１・ｘ＋ａ２・（ｘ＾２）＋ａ３・（ｘ＾３）＋........

ｆ（０）＝ａ０　　∴ａ０＝ｆ（０）

　これで、最初の係数ａ０が決まりました。
　次に、多項式を微分して、ｘに０を代入します。

ｆ’（ｘ）＝ａ１＋ａ２・（２ｘ）＋ａ３・（３ｘ＾２）＋........

ｆ’（０）＝ａ１　　∴ａ１＝ｆ’（０）

　これで、係数ａ１が決まりました。
　こうして、次々と多項式の係数が決まっていくわけです。

ｆ’’（ｘ）＝ａ２・（２）＋ａ３・（６ｘ）＋........

　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｆ’’（０）
ｆ’’（０）＝ａ２・（２）　　∴ａ２＝-------
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ２

ｆ’’’（ｘ）＝ａ３・（６）＋........

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｆ’’’（０）　　　ｆ’’’（０）
ｆ’’’（０）＝ａ３・（６）　　∴ａ３＝---------＝---------
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６　　　　　　　３！

　この手順そのものが、テイラー展開公式だったわけです。
　それじゃ、テイラー展開を三角関数に使ってみます。公式を当てはめてみても面白くないので、上の手順を使って、三角関数がｘの多項式になったときの係数を決めてみます。

ｆ（ｘ）＝ｃｏｓ（ｘ）＝ａ０＋ａ１・ｘ＋ａ２・（ｘ＾２）＋ａ３・（ｘ＾３）＋........　　∴１＝ａ０

ｆ’（ｘ）＝−ｓｉｎ（ｘ）＝ａ１＋ａ２・（２ｘ）＋ａ３・（３ｘ＾２）＋........　　∴０＝ａ１

ｆ’’（ｘ）＝−ｃｏｓ（ｘ）＝ａ２・（２）＋ａ３・（６ｘ）＋........　　∴−１＝ａ２・２

ｆ’’’（ｘ）＝ｓｉｎ（ｘ）＝ａ３・（６）＋........　　∴０＝ａ３・６

　ｃｏｓ（ｘ）は、上のように係数が決まっていき、下のようなｘの多項式になりました。
　　　　　　　　　　　　１
ｃｏｓ（ｘ）＝１−ｘ＾２----＋........
　　　　　　　　　　　　２

　ｓｉｎ（ｘ）にも使ってみます。ｃｏｓ（ｘ）と同じように順次係数を決めていきます。

ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（ｘ）＝ａ０＋ａ１・ｘ＋ａ２・（ｘ＾２）＋ａ３・（ｘ＾３）＋........　　∴０＝ａ０

ｆ’（ｘ）＝ｃｏｓ（ｘ）＝ａ１＋ａ２・（２ｘ）＋ａ３・（３ｘ＾２）＋........　　∴１＝ａ１

ｆ’’（ｘ）＝−ｓｉｎ（ｘ）＝ａ２・（２）＋ａ３・（６ｘ）＋........　　∴０＝ａ２・２

ｆ’’’（ｘ）＝−ｃｏｓ（ｘ）＝ａ３・（６）＋........　　∴−１＝ａ３・６

　ｓｉｎ（ｘ）は、下のような多項式になりました。
　　　　　　　　　　　 １
ｓｉｎ（ｘ）＝ｘ−ｘ＾３----＋........
　　　　　　　　　　　 ６

　指数関数ｅ＾ｘにも使ってみましょう。

ｆ（ｘ）＝ｅ＾ｘ＝ａ０＋ａ１・ｘ＋ａ２・（ｘ＾２）＋ａ３・（ｘ＾３）＋........　　∴１＝ａ０

ｆ’（ｘ）＝ｅ＾ｘ＝ａ１＋ａ２・（２ｘ）＋ａ３・（３ｘ＾２）＋........　　∴１＝ａ１

ｆ’’（ｘ）＝ｅ＾ｘ＝ａ２・（２）＋ａ３・（６ｘ）＋........　　∴１＝ａ２・２

ｆ’’’（ｘ）＝ｅ＾ｘ＝ａ３・（６）＋........　　∴１＝ａ３・６

　指数関数ｅ＾ｘは、符号こそ違いますが、ｃｏｓ（ｘ）とｓｉｎ（ｘ）を加えたような多項式に展開できました。
　　　　　　　　　　　 １　　　　　　１
ｅ＾ｘ＝１＋ｘ＋ｘ＾２----＋ｘ＾３----＋........
　　　　　　　　　　　 ２　　　　　　６

　こんなふうに、テイラー展開は、たいていの関数をｘの多項式に展開できるわけです。対数関数ｌｏｇ（ｘ）の展開はわざと省きました。例の「ａの近傍」での展開を使わなければならないので、数学の専門家でない私には荷が重いし、めんどくさかったからです。すいません。
　最後に、虚数ｉを含んだ指数関数ｅ＾（ｉｘ）に、テイラー展開を使って見ましょう。面白い結果になります。

ｆ（ｘ）＝ｅ＾（ｉｘ）＝ａ０＋ａ１・ｘ＋ａ２・（ｘ＾２）＋ａ３・（ｘ＾３）＋........　　∴１＝ａ０

ｆ’（ｘ）＝ｉｅ＾（ｉｘ）＝ａ１＋ａ２・（２ｘ）＋ａ３・（３ｘ＾２）＋........　　∴ｉ＝ａ１

ｆ’’（ｘ）＝−ｅ＾（ｉｘ）＝ａ２・（２）＋ａ３・（６ｘ）＋........　　∴−１＝ａ２・２

ｆ’’’（ｘ）＝−ｉｅ＾（ｉｘ）＝ａ３・（６）＋........　　∴−ｉ＝ａ３・６

　見事に、ｃｏｓ（ｘ）と、ｓｉｎ（ｘ）に虚数ｉをかけたものの、和になりました。
　　　　　　　　　　　　　　１　　　　　　　 １
ｅ＾（ｉｘ）＝１＋ｉｘ−ｘ＾２----−ｉ（ｘ＾３）----＋........
　　　　　　　　　　　　　　２　　　　　　　 ６
　　　　　　　　　　　　１
ｃｏｓ（ｘ）＝１−ｘ＾２----＋........
　　　　　　　　　　　　２
　　　　　　　　　　　　　　１
ｉｓｉｎ（ｘ）＝ｉｘ−ｉ（ｘ＾３）----＋........
　　　　　　　　　　　　　　６

　これは、有名なオイラーの公式（たぶん、そういう名前だったと思います）の証明になっていると思います。

∴ｅ＾（ｉｘ）＝ｃｏｓ（ｘ）＋ｉｓｉｎ（ｘ）