BCL - メタファーの芸術

「D. R. ホフスタッターという人物を、いったいどれくらいの人間が知っているだろうか？」というような事をD. R. ホフスタッター本人に尋ねてみたら、彼からはどのような答えが帰ってくるだろうか。上のようなことを繰り返し主題として取り上げている人物、それがD. R. ホフスタッターである。

D. R. ホフスタッター

ホフスタッターは、一言で言うと人工知能（AI）の研究者である。研究の傍ら、数冊の本を我々に上梓してくれている。ここで、簡単にホフスタッターの略歴を挙げてみよう。 D. R. ホフスタッター（Douglas R. Hofstadter) 1945年2月15日、アメリカ　ニューヨークにて生まれる。父親はノーベル物理学受賞者のロバート・ホフスタッター。ロバートは1962年、46歳のときに「線形加速器による高エネルギー電子の散乱の研究と核子の構造に関する発見」という題目でノーベル賞を受賞している。

また、彼の著作を見てみよう。

ゲーデル、エッシャー、バッハ　あるいは不思議の環,1979
マインズ・アイ　－コンピュータ時代の「心」と「私」,1981
メタマジック・ゲーム　科学と芸術のジグソーパズル,1985
Ambigrammi: un microcosmo ideale per lo studio della creativita（邦訳なし：アンビグラミ　創造性の研究のための小宇宙的理想）,1987
Fluid Concepts and Creative Analogies: Computer Models of the Fundamental Mechanisms of Thought（邦訳なし：流動概念と創造的な類似性　思考の根本的な構造のコンピュータモデル）,1995
Le Ton beau de Marot: In Praise of the Music of Language（邦訳なし：マロットの美しい響き　言語の音楽の楽園の中で）,1997
translation of Pushkin's novel in verse "Eugene Onegin"（邦訳なし：プーシキンの翻訳エフゲニー・オネーギン）,1999
Speechstuff and thoughtstuff: Musings on the resonances created by words and phrases via the subliminal perception of their buried parts.（邦訳なし：会話の材料と思考の材料）,1995
On seeing A's and seeing As.（邦訳なし：「A」を「A」と感じること。）,1995

我々が今現在、彼の思考を読めるのはAI研究の最盛期に書かれた三作品である。ここでは特に彼の原点でもある、「ゲーデル、エッシャー、バッハ　あるいは不思議の環」（略してGEB）を紹介する

「ゲーデル、エッシャー、バッハ　あるいは不思議の環」

GEBは以下のようなホフスタッターの動機により出来上がった著作である。引用してみる。

私は、ゲーデル、エッシャー、バッハという三本の糸から永遠の黄金の編み紐を編もうとした。まず、ゲーデルの定理が中核にあるようなエッセイをかくつもりで始めた。それは単なる小冊子で終るだろうと予想していた。しかし構想が天体のようにひろがり、ほどなくバッハとエッシャーに到達した。それを個人的な動機づけとしておくのでなく、この関係を明白なものにする事を思いつくには時間を要した。しかしついに私は理解した。私にとってゲーデルとエッシャーとバッハは、何か中心をなす堅固な本質によって異なる方向に投じられた影に過ぎないのであった。私はこの中心をなすものを再構成しようと務め、そうして本書を仕上げるに至った。

この考えは、苦も無くプラトンのイデア説を想起させる。プラトンによれば、今我々が見ているこの世界のすべてのものは、「イデア」の影だという事だ。この概念は、近年では「ソフィーの世界」に詳しく言及されている。例えば、馬。我々は馬を見てそれを「馬」だと認識できる。たとえ色が変わろうと、毛並みにばらつきがあろうと、馬の子供であろうと大人であろうと、我々は馬をみて馬と認識する。この認識の一致はどうして起こるのだろうか。そこでプラトンは考えた。「全ての物体には、永久不変の『イデア』が存在する。我々は投影されたその影を見ているからだ。」ここにプラトンのイデア説は完成したのである。

これを拡張すると、全ての概念には共通するイデアのようなものがあるという事になる。そこでホフスタッターは、バッハの音楽、エッシャーの絵画、ゲーデルの理論に共通の『中心をなす堅固な本質』の正体を、GEBで追求した。その結果、このような分厚く内容の濃い本が生まれた。 GEBは追求を通り越して、その「本質」を自ら表しているという構造にまで発展している。彼の言う「自己言及」の段階にまで達しているのだ。

内容は哲学じみているか、それとも純粋思考のための数学、といったような感じだ。ホフスタッターはGEBを全20章でかき、それを二つの部分に分けた。章題をいくつか挙げる。

MUパズル
矛盾性、完全性、および幾何学
無門とゲーデル
形式的に決定不可能なTNTと関連するシステムの命題

どの章目も理解するのに膨大な時間がかかる。何しろ今まで見た事も無いような概念が目白おしなのだから。 GEBの大きな特色は、その構成にある。アキレスと亀による対話が、章のあいまに挿入されているのだ。フーガには前奏曲、オペラには序曲があるように、この本にも前奏曲というべき形式がとられている。

エッシャー

この本をよく理解するには、ある条件が必要だと思われる。一つはエッシャーが好きなこと。二つ目は、バッハの音楽を一つでも知っている事。この二つを満たしているか否かで、GEBに対するイメージが変わってしまうだろう。

エッシャーはオランダの画家で、1902－1972という、歴史始まって以来の激動期に生きた。それに引き換え、その作品は一見無機質である。感情が露出した、一般に「芸術」と呼ばれるような（とくに戦争とかを意識した）作品は見当たらない。しかし、感情は無くとも理性が剥き出しである。エッシャーの作品の根幹をなしているのは、数学的なモチーフ群である。有名なものは「ペンローズの三角形」と呼ばれる概念である。

ペンローズの三角形

一見なんでもないこの三角形は、見るからに矛盾点を抱えている。水平方向に伸びている二つの辺が、最後の一辺で垂直方向で交わっているのだ。これを利用した作品に1961年の「滝」がある。「滝」という作品は、無限に流れつづける水と、水路塔の頂上に立つ二つの立体が象徴的な、不思議な作品だ。「滝」では遠近法は無視され、紙面の２次元性を利用して現実にはありえない奇妙な建築物を創造している。これは視覚的に「無限」を表している。 GEBの主題に限りなく近い、若しくは絵として投影された「本質」なのである。

ペンローズという名前が出てきたところで、彼の説明をしなければならないだろう。大まかな部分はこのサイトにゆずる。一言で言えば彼は数学者で、現代物理学の発展に大きく寄与した人物の一人である。後にホーキング博士との共同研究となったブラックホールの特異点を予測した有名な定理を初めとして、物理学・数学に多くの業績がある。ツイスター及び非定期の平面傾きの理論を考案し、名前が冠されている。

ロジャー・ペンローズ

バッハ

バッハについては、これまでに数限りない研究や演奏がなされてきたので、いまさらここで言及するのもなんだろう。バッハは1685－1741年に生きた。彼は、音楽の中に理性を持って無限を書き表した人物である。現代では、無限は研究し系統付けられた一つの概念として存在しているし、無限の演算すら可能である。しかし1685年当時、しかもキリスト教支配のヨーロッパでは、無限はまだ未知の彼方に存在したのだろう。ちなみにイタリアでのルネサンス後、ニュートンは1687年に万有引力を発見。古典的だが決して覆される事の無い、科学の発生である。音楽でもやはり、不滅のバロック時代が出現した。そういった知への飽くなき追求があって数学界で本格的に無限を取り扱ったのがカントール（1845－1918）であり、彼の研究を完成させたのがデデキントである。ここで注目したいのが、いままで漠然としか捕らえるこのできなかった概念が数学的に記号化され、誰もがそれを操作できる事ができるようになったということである。

一方バッハにおいては、その無限という概念を18世紀においてもはや記号化している。音楽という記号で。バッハの作品中「無限のカノン」という題のカノンがある。そこにあるように、バッハが表したかったのは無限という概念である。

ゲーデル

GEBを理解する上で、さらに解説しなければならない人間、それはゲーデルである。彼は科学に、何らかの止めを刺した。それは、次の命題である。

数論の無矛盾な公理系は、必ず決定不能な命題を含む

これは1931年、ゲーデルの論文『プリンキピア・マスマティカおよび関連する大系における形式的に決定不能な命題についてＩ』の中の命題Ⅳを分かりやすくしたものである。いわゆる、不完全性定理－超メタ数学－の一つの結論だ。ここで、二つの説明が必要である。プリンキピア・マスマティカとは何か。超メタ数学とは何か。

『プリンキピア・マスマティカ』とは、かのニュートンの著作「プリンキピア」より題を取り、バートランド・ラッセルとアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドの二人が 1910年から1913年にかけて出版した論文のことである。この論文は、証明という言葉が前提としている数論の論証の一定の体系である。

また、超メタ数学とは。ここで、超メタという言葉になれるために、次のことを想像して欲しい。

今、あなたの目の前にとても古めかしいアラビアのランプが置いてある。あなたはとても興味を覚え、特に「アラジンと魔法のランプ」を思い出し、そのランプに手を伸ばした。「ランプの精よ」などと唱えながらランプをさすると、やはり中から何らかの精霊が出てきた！「ご主人様お呼びでしょうか」とか何とかお決まりのやり取りをした後、お決まりのようにランプの精が言った。「ご主人様。願いごとを三つまで、かなえてさしあげます……」そこであなたは考えた。果たして、願い事は何がいいのか。お金か。モノか。それとも……。少ない頭を絞れるだけ絞って、あなたはものすごい考えを思いついた。「願い事を、いくらでもかなえられるようにしてくれ！！！」

さて、この後どうなったかは全く知らないが、ここで出てくる願い事というのは「願い事」に対する「願い」いわば超メタ願望とも言うべき願い事である。同様に、数学に対するもう１レベル上の数学、これを超メタ数学と呼称しているのである。

GEBの本質

このように、「何か」に対して正確な記述をしようとすると、引用やら考える事がどんどんと長くなってしまう。ことにその対象が「無限」とか「自己言及」だとすれば、記される内容はやはりとめどなく長くなるのであろう。今ここでGEBについて紹介した内容は、GEBの序章の半分にも満たない。それほど膨大な分量の文章と図（＝ホフスタッターの思考の構造）がまず、一大著作「GEB」としてまとめられたのである。 GEBは、意識とか知能とかを研究する人にとっては、必ず読むべき本である。

メタファーの芸術

D. R. ホフスタッター

「ゲーデル、エッシャー、バッハ あるいは不思議の環」

エッシャー

バッハ

ゲーデル

GEBの本質

「ゲーデル、エッシャー、バッハ　あるいは不思議の環」