が、
で極値を持つための必要条件が、
が、で極値を持つための必要条件が、
、かつ
（
方向、
方向の接線の傾きが0。）なのは明らかだと思います。以下に、この条件を満たすものが、実際に極値を持つための更なる条件をみていきます。
まずは、簡単のために、
で極値の判定を考えます。
、かつ
が、まず必要ですね。
極小値というのは、そのまわりが極値での接平面よりも高い点で、極大値というのは、そのまわりが極値での接平面よりも低い点です。（下の図は、極値より少しずらした点での接平面を書いています。極値での接平面は、
平面に平行です。）
よって、のまわりでテイラー展開したものからでの接平面の式を引いてそれの大小を比べます。接平面は、
より、
ですね。
この式が、正か負かを見れば良いのです。
や
の3次以下の項は、2次の項に比べてきわめて小さいので無視します。
ここで、高校の復習です。
において、
かつ
ならば
は常に正。（下に凸で、実数解を持たない。グラフが軸と交わらない。）
かつならばは常に負。（上に凸で、実数解を持たない。）
ならば、グラフは軸と交わり
は正負両方取り得る。
のとき、グラフは軸と接します。
同じように考えていきましょう。
として、
1) 
ならば、常に正。つまり、
。よって、極小値になります。
2) 
ならば、常に負。つまり、
。よって、極大値になります。
3) 
の部分との部分があるので極値を取りません。
4) 
一般の場合が、で極値を持つ条件も同じようなものです。
このとき、
、
と変数変換します。
、
となります。（座標軸を横にずらすだけなので、微小変化量の割合は変わらない。
、
、
より、
、
、
として、先ほどの条件を用いればよい事がわかります。
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