のまわりで以下のように展開できると仮定します。
これ自体で大事な定理ですが、ひとまず極値問題の準備として2変数関数のテーラー展開を求めましょう。1変数のときと同様に、のまわりで以下のように展開できると仮定します。
を代入して、
を
で偏微分して、を代入。
を
で偏微分して、を代入。
をで2回偏微分して、を代入。
、
をで2回偏微分して、を代入。
、
をとで1回ずつ偏微分して、を代入。
これらを元の式に代入すると。
これで、2次の項までのテイラー展開が求まりました。余裕のある人は、3次の項まで求めるなり、一般の場合、
のまわりで求めるなりしてみてください。