、
も意味も分からず計算しました。』
『高校範囲の復習といえば、置換積分、も意味も分からず計算しました。』
「置換積分を、イメージを持って理解することは大切です。重積分の変数変換を理解する上での基礎にもなります。」
例として、
を
で変数変換してみましょう。
変数変換というのは、要するに物差しの目盛りを替えることです。
の物差しは、
の物差しに比べて目が
より、
になりますね。それぞれの物差しでの、グラフを描いてみましょう。
範囲が、
から
に替わったのはいいですね。それから、
という関係式から
という関係式になっていますね。最後に、ここが大事なのですが、微小区間
が
になっています。目盛りの幅が
もう少し詳しく解説しましょう。被積分関数は、
とします。はじめにの物差しで考えます。微少区間
をとり、そこでの高さが、
。よって面積は、
。それを足し合わせて、
これと同じことを
の物差しで考えます。以前の区分求積方の話しで、区間
を
個に分割して、それを
とすると言ったのを思い出してください。の物差しで
は
です。これをの物差しで測ると
になります。（の物差しでの
は、の物差しでの
となるようにの物差しで測ると
になるので、
になります。つまり、微小区間として同じものを取るので、の物差しでは、区間
を個に分割していることになります。被積分関数と、積分区間もの物差しで測定して、微少区間での面積は、
。それを足し合わせて、
（
の物差しで面積が出てきていることに注意）
になります。
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