天下り的で申し訳ないですが、以下の関数系は、区間で正規直交関数系を成します。

証明は、

を使います。

　ここで、ベクトルの話しに戻ります。

３次元空間内の任意のベクトルは、正規直交系を使って、

と表すことが出来ます。

ここで、と内積をとれば、

第１項の内積は１。第２項、第３項の内積は0ですからね。

同様にして、

となります。

すると、ベクトルは、

と表すことが出来ます。

　ここまでのことが理解できていれば、後は簡単です。（それと関数がベクトルであるという感覚も必要。）

　任意の関数は正規直交関数系を使って、

最初の正規直交系を使って、

これで、フーリエ級数展開と同じ形になりました。