区間で１周期をもつ周期関数が存在したとします。

そこで、聡明なあなたは考えます。

「まてよ、やも同じような周期関数だ。もしかしたら、この周期関数は三角関数の重ね合わせで表現できるのではないだろうか？」

そんな大それたこと思いつくわけないだろ！という声を無視して先に進みます。

というわけで、は、

　（は定数。です。）

と表されると仮定します。

　これから、を求めていくわけですが、これらの公式を準備しておきます。（は正の整数です。）

（証明は簡単です。三角関数の積→和の公式を使います。）

　これらの公式をうまく使えば、が求まるのでは？とあなたは考えます。いや、普通なかなか思いつくものではないよね。

　まず、最初の式を区間で積分します。

第２項、第３項は、0になるので、

　次に、を掛けて積分します。

第１項、第３項は、0ですね。

（クロネッカーデルタの計算に慣れてない人、最後の計算は良いですか？例えば、のときには、のうちだけ残るということですよ。）

をに替えて、

ここで、と置けば、

　（）

とまとめて表すことが出来ます。

　最後に、を掛けて積分します。

先ほどと同様に、

になります。

　ここに、フーリエ級数、フーリエ係数が求まりました。

　じつは、フーリエ級数展開は、正規直交関数系への関数の展開と考えた方が見通し良いです。それは次回。