えーと、とりあえず、簡単の為に２次元平面で考えます。

２次元ｘｙ平面上に、で決まる、ある物理量が存在するとします。

それは、温度が場所によって決まっていると考えても良いし、鉄板の面密度が場所によって決まっていると考えても良いです。３次元空間ならば、物質の密度や、霧の濃さを考えるのが良いでしょう。

しかし、ここでは、高さを考えるのが一番分かりやすいでしょう。場所によって、高さ、が違うと考えるのです。

　さて、場所によって、が決まるので、その勾配も場所によって一意に決まります。

　それから、から、に移動したときの、の変化量を考えます。

全微分の公式より、

が成り立ちます。（としています。）

は、任意の方向に向けることが出来ます。

　ここで、が最大となるような、を考えます。

より、（は、とが成す角です。）

の時に、が最大になりますね。

つまり、とが同じ向きのときに、は最大になるのです。

は高さがもっとも急に増加する向きに向いているといえます。

　ちなみに、の時には、。このとき、です。

このとき、の等高線にが沿っています。

つまり、は等高線に垂直だといえます。

　それから、とが反対向きのときに、は最小になります。

　さて、もう一度、の場合に戻りましょう。このとき、

です。

これは、一次元の時の、に相当します。

の変化量に傾きを掛けるとの変化量が出るのでしたね。

は、この場合、傾きに相当します。

つまり、は、の最大増加の向きを向いているベクトルであり、等高線に垂直であり、は、が最大増加の時の傾きをあらわす。ということです。