まずは、２次元平面上のベクトルから話しを進めていきます。

　このように、２次元平面上に、２つのベクトルがあるとします。

はを使って表すことが出来ませんし、もを使って表すことが出来ません。このとき、２つのベクトルは「１次独立」であるといいます。

　この平面上に、新たに、ベクトルを置くと、このベクトルは、２つのベクトルの１次結合で表されます（実数倍と足し合わせ、）。このとき、３つのベクトルは、「１次従属」であるといいます。

　とが平行ならば、と表すことが出来るので、２つのベクトルは１次従属であるといいます。

　次に、３次元空間内に、１次独立な２つのベクトルがあるとします。

　ここで、第３のベクトルを考えます。もし、がの張る平面内に存在しているならば、と表すことが出来るので、３つのベクトルは、「１次従属」です。そうでないならば、３つのベクトルは、「１次独立」です。

　１次独立、１次従属の概念に付いては、分かってもらえたと思うので、ここで判定法を紹介しましょう。

　個のベクトル、を考えます。これらのベクトルが、を満たすとき、１次従属ならば、いくつかのベクトルは、他のベクトルの１次結合で表すことが出来ます。しかし、１次独立なときはそのようなことが出来ません。そこで、１次独立なときは、の関係を満たすような係数は、に限ります。