この場合もやはり物差し（但し2方向）を替えることを考えます。普通は下図1番目の物差しを使っているのを、2番目や3番目などの物差しを使います。

　

　

　

　

　

　

　

置換積分のときは、目が広がる割合に応じて微小区間が、に　なりました。これと同様に、微小面積が、になります。では、は一体何なのでしょうか？

　全微分の公式を用いると、

、

になります。行列を使ってまとめて書くと、

です。これは、ベクトルを行列によって、1次変換するとになると言うことです。ここで、線形代数を思い出してもらいたいのですが、1次変換によって、面積は、倍になるのでしたね。（と言われても何のことか分からない読者のために、すぐに解説が出てきます。）置換積分のときの目が広がる割合に対応して、微小面積の変化の割合が、になるのです。（絶対値がついているのは重積分は、積分の方向を考えないからです。）

　

　

　

　

　

　例として、下図の正方形を行列によって1次変換するときの面積の変化を考えましょう。

　

　

、

より、右図のように変換されます。一般に2つのベクトル,で囲まれる部分の平行四辺形の面積は、なので、

面積が、倍になっていることが分かりますね。

　

極座標の場合

　を極座標変換すると、、。

また、ヤコビアンは、

より、

になります。

　それよりも、最初から微小面積を考えても良いです。右図の微小面積は、長方形に近似してになります。それから、被積分関数に微小面積を掛けて足し合わせると考えます。

　

　

　

　

　

　

　『先生。図の部分の面積は、

になると思うぞ…。』（扇形の面積の公式を思い出してね。）

「確かにそうです。でも、の部分はの2次になっていますよね。積分するときには、1次の項しか必要ないと言ったのを思い出してください。この部分は、積分すると消えてしまいます。どうしても心配でしたら、単位円の面積（高さ1の体積）を、この微小面積を使って区分求積法で求めてみてください。2番目の項は消えるはずです。」

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