まずは、小学校の復習からです。正比例の式を思い出しましょう。

と表すことが出来ますね。

このとき、というのがの変換を特徴付ける固有の量です。

行列の固有値は、これの拡張です。

例として、　を使った変換

を考えます。

この変換は、

ベクトルを、

に変換します。

例えば、

になります。

当然のごとく、変換前のベクトルと変換後のベクトルは別の方向を向いていますね。

ところが、以下のベクトルは、変換によって定数倍されるだけです。

固有値、固有ベクトルの求め方は、よろしいでか？

まず、固有値・固有ベクトルが存在するとして、

と置きます。

先ほどの例で具体的に計算していきましょう。

右辺を移項して

さて、このタイプの　　の連立方程式は、という自明な解を持ちます。しかし、ここでは固有ベクトルを求めているので、ゼロベクトルでは具合が悪いです。

の時に、この連立方程式が自明でない解を持つためには、でなくてはなりません。

これにより、　が求まります。

これを、先ほどの、

に代入すると、

固有ベクトル

、

が求まります。

ただし、この固有ベクトルには定数倍だけの任意性があります。

それでも、変換によって固有値倍されることには変わりありません。