を使って微分を求めてみましょう。
『先生。極限ってのが良く分からないのですが。』
「どう分からないのかしら」
『限りなく近づけるっていうのが、どうも…』
「うーん、じゃあ微分を考える別の方法を紹介しましょう。」
を使って微分を求めてみましょう。
で、極限という考えをやめて、
に、実際にものすごく小さい数を代入してみましょう。例えば、
を代入して計算すると、
になりますね。最後は、
はすっごく小さい数なので省いています。
引き続き、極限を考えるのではなくて、実際に数を代入すると言う発想で考えます。今度は、仮想的な「o」という無限少量を考えます。これはとてつもなく小さいけれど、0ではない数です。どうしても想像しづらいようでしたら、
とでも、
とでも考えてください。この無限少量を先ほどの式に代入します。
最後の等号は、oが無限少量、ものすごく小さいということで省いています。
『なるほど、瞬間の速度を説明するのに微分を導入した。その微分を理論づけるために、高校では極限を使った方法を習うけれど、無限少量を使う方法もあるということですね。』
「そうです。極限を使うと限りなく近づくというのが分かりにくいですね。それよりは、仮想的な無限少量を考えて、その値を代入する、その値に「なる」という感覚を持ったほうが応用で数学を使う人には良いと思います。実際、広義積分を
と書いたりしますしね。このことに関連して、「ｄｘって何？」というテーマで後日お話をしようと思います。」