線積分は、普通の積分が軸上に沿った積分であったのに対して、経路を2次元平面、3次元空間内に持っていったものであった。面積分は、2重積分の拡張である。すなわち、平面上の平面でなく、空間内に飛び出た平面上で積分をするのである。2重積分が体積を表すことから、平面

の上に新たな座標を無理やり考えて、平面上に存在する量をとして、その曲面と平面とで囲まれる部分の体積と考えることも出来る。のときは、面積分は、面積を表す。なぜなら、「高さが1の体積」＝「面積」だからである。

しかし、線積分の場合と同じように、平面上にどんぐりが転がっている。が大きいほど沢山のどんぐりが転がっている。そのどんぐりを平面上で全部拾い集めたときのどんぐりの合計が面積分である、と考えた方が良いだろう。

　

　

　

　

　

　

　

　ここで、例題を一つだけ。半径の球の表面積を求めてみましょう。

　

　

　

　

　

　

　

　

球面上の微小面積は、になります。積分範囲は、、より求める面積は、

となります。

　

　

　

　

　

　

　

　

　

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