オイラーの定理

を２通りのやり方で証明します。

まずは、テイラー展開を使った方法

それぞれの項をテイラー展開すると、

となりますね。後は、両辺を比べれば自明でしょう。

次に、微分方程式を使った方法

と置きます。とにかく。

これを微分すると、

の微分方程式を解きます。

一回微分して、が出てくるので、

が一般解ですね。

で、としますと、が分かります。

よって、

になります。

うーん、でも、テイラー展開も微分方程式も実数の範囲でしか習っていないはず。これを、複素数に勝手に拡張して証明として良いのだろうかと思うのですが、これしか証明方法を知りません。

さて、オイラーの定理を使うと三角関数の公式を簡単に導くことが出来ます。

例えば、加法定理。

実部と虚部を比較すると、cosとsinの加法定理がいっぺんに出てきます。

他の三角関数の公式も、オイラーの定理を使って導いてみてください。

あと、オイラーの定理が有用な場合としては、力学のいわゆる強制振動の問題で、非同次線形微分方程式の特解を求めるというのがありますね。