３次元空間内に、１次独立な３つのベクトルがあります。これらのベクトルを正規直交化することを考えます。正規直交化というのは、１次独立なベクトルをもとに、互いに直交し、かつ大きさが１のベクトルの組みを作り出すことです。

　まず、ベクトルから大きさが１のベクトルを作り出します。これは簡単ですね。の大きさを割れば良いのです。

　次に、とを元に、新たなベクトルを作りましょう。

　ここで、図のがどうしてこうなるか分かりますか？（ちなみに括弧は内積を表しているのですよ。）

の方向の正射影は、との成す角をとすると、ですよね。それに、単位ベクトルの大きさを掛けても同じことです。単位ベクトルの大きさは１なのですから。

これは、実はとの内積になっていますね。

それに、大きさが１で、方向を表すベクトルを掛ければ良い訳です。

　さて、図を見ると、になっていますよね。そこで、を求めるには、から、方向の成分を引けば良いわけです。

ここまでで、直交化できました。これを更に大きさ１にすれば、正規直交化したことになるのです。

　更に、、、を元に新たなベクトルを作っていきます。

　先ほどと同じ要領で、

になっていますね。

を求めるには、から、、方向の成分、、を引けば良いので

大きさを１にして、

　これで、正規直交なベクトル、、が求まりました。

　４次元以上になると、もはや図には表せませんが、同じように、

（次の１次独立なベクトル、正規直交ベクトル）正規直交ベクトル

を引いていけば良いのです。