のまわりでテイラー展開の式を求めましょう。唐突ですが、ある関数
がテイラー展開できると仮定してこのように書きます。
ここでは、のまわりでテイラー展開の式を求めましょう。唐突ですが、ある関数がテイラー展開できると仮定してこのように書きます。
……①
が
の線形結合で書けると仮定しています。あとは係数を求めるだけです。のまわりで展開するので、においては、①の右辺と左辺を「完全に」一致させなくてはいけません。ここで完全にというのは、その地点の値だけではなく、何回微分の微分係数までも一致させるということです。
まず、①にを代入します。すると、
になります。
これは、における値を一致させたということです。
次に両辺を
1回微分して、を代入します。
になります。
これは、における接線の傾きを一致させたということです。
更に、両辺を
2回微分して、を代入します。
これは、における「下に凸度」を一致させたということです。
更に更に、両辺を
3回微分して、を代入し、3回微分係数も一致させます。
さて、この辺で求まった係数を代入してみましょう。
これで、テイラー展開の式が
の
余裕のある読者は、一般の場合、
のまわりのテイラー展開を求めてみてください。最初に、
としておけば計算が楽に進むでしょう。
（一般に、を通る曲線の式は、
としたもので書けます）
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