ストークスの定理は、これです。

（∂Ｓは、曲面Ｓの境界線。）

今回も、次元は合っていますね。

２次元の微小領域ΔxΔyのまわりで、Ａの左回り一周線積分を考えます。

Ａのｔ（接線方向の単位ベクトル）方向の成分を取るのは、渦を巻くのに貢献している成分だからです。

４つの線積分を全部足し合わせると、

第１項と第３項、第２項と第４項を合わせて、

の極限をとって、

少なくとも、微小領域では、

であることが分かりました。

ガウスの定理のときと同じ横領で、一般の領域に拡張します。

まず、２つの領域をあわせて考えます。

それぞれ、

が、成り立ちます。

これを足し合わせるのですが、２つの領域が接している部分の線積分は、大きさが同じで向きが反対になっているので打ち消しあいます。よって、

。

一般の領域を考えても、内側の線積分は全部打ち消し合うので、外周の線積分しか残りません。

よって、

。

これの極限をとって、

になります。