は、我々が暗黙に使っている基底
、
を使って、（この節は、固有値・固有ベクトルの節から続けて読んで下さい。）
先ほどは、固有ベクトルというのは、変換によって方向を変えずに固有値倍になるベクトルだと言いました。
変換によって方向を変えないので、固有ベクトルを基底として任意のベクトルを表して変換を考えれば面白いことになりそうです。
（意味がわからない人、今しばらく辛抱を。基底についてはすぐに解説します。）
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基底の説明------------------------------------------------------------------------------------２次元平面内の任意のベクトルは、２つの１次独立なベクトル（つまり、互いに平行ではない２つのベクトル）の１次結合（定数倍と足し算）によって表すことが出来ます。このときの、１次独立な２つのベクトルを基底と呼びます。
たとえば、
ベクトルは、我々が暗黙に使っている基底、を使って、
と表すことも出来ますし、
別の１次独立な２つのベクトル
、
を基底として、
と表すことも出来ます。
（基底の前の数字を「成分」と呼びます。）
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ここで、任意のベクトル
を先ほどの固有ベクトル、を使って表してみましょう。
我々が暗黙に使っている規定をつかうと、
固有ベクトルを基底にすると、ある
を用いて、
とも書けます。
先ほどの行列
をつかって、
と変換すると、
←固有ベクトルの性質を使っていますよ。
つまり、行列Ａによる変換によって、成分は、
、
になっています。（あたかも正比例の式のように。）単に
に比べて何と簡単なことでしょう
!ちなみに、行列を使って表すと、
です。
（新基底での、例えば
の成分を
としています。）
基底を変えても、ベクトル
は、ベクトルであることには変わりがありません。
鉛筆の長さを１センチ刻みの物差しで測っても、１インチ刻みの物差しで測っても、鉛筆自体の長さが変わるはずがないのと同じことです。
そこで、
と
の関係を求めると、
になります。
（
としました。）
同じ要領で、
です。
これを、に代入します。
両辺に
を左から掛けて、
これを、さきほどの
と比べると、
になっていますね。
つまり、対角化とは、固有ベクトルを基底として考えると、変換によって
x,yは単に固有値倍になる、シンプルな変換になるということです。
図を使って見てみましょう。
例えば、
（
（青）になります。
（
を使っていますよ。）
これを、固有ベクトルを基底とした新基底で見てみましょう。
すると、
が、
になっています。
もう１つの例で、
（
（赤）になります。
新基底で見ると、
→
です。やはり、単なる固有値倍の変換になっています。
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