ベクトル場の線積分は、力学では、仕事を求めるときに重要ですね。

高校物理では、仕事でしたね。これは、力も変位も一定のときに成り立ちます。

ここで、力が場所によって決まる場合を考えます。簡単のため、２次元x,y平面上で、力がによって決まり、とします。

このとき、ある経路を通ったときの仕事を求めます。

↑まずは、こんな経路を通っていったときの仕事を考えます。

細い矢印に沿って移動するとします。

力は、太い矢印であらわされ、の変位において、は一定であるとします。

この場合の力は、になります。

今度は、こんな場合を考えます。

このような経路に沿って移動するのです。

この場合には、全区間をＮ分割して、先ほどと同じようにして、その後Ｎ→∞とすれば仕事が求まります。一変数の積分やスカラー場の線積分のときと同じ要領ですね。

これが、ベクトル場の線積分です。