数学

数学

ここは数学に関する色々なトピックを紹介していきます。
簡単な数学から高等数学までアットランダムにアップします。
増えてきたらレベルごとに整理していくつもりです。

＊いろいろな方が見ることを考慮し、現在、暫定的に、高校数学修了程度の学力で理解できるものをこのページに置いて、それ以上の知識を要するものは、注の形で別ページにおいてあります。
なお、高校数学以上のトピックであっても理解可能と思われるものはここにおいてある場合があります。

しかし・・・パソコンで数式が作成できない。
数式がないと当然数学の面白さは十分伝えられない。
数式作成ソフトを買うか？
でもソースコードがHTML形式で表せるのだろうか？
紙に式を書いてスキャナで読ませた方がいいかな？
現在、HTMLコードを駆使して表現しています。
ちょっと見づらいですけど。

分母は足せない（学力低下について）

例えば1/5+2/5=3/5ですが、分数を習い始めの内は、分母を足して3/10としてしまうことがあります。
まあ管理人の小学生の頃には笑い話でしたが、学力低下が著しいこのごろ、なぜ分母を足してはいけないのか、小学生の突っ込みが厳しくて、なかなか授業が前に進まないという話を聞きました。
でも良く考えてみると、この原理を分数を習い始めて間もない小学生に納得させることは容易ではないでしょう。
もう少し学習が先に進むとうまく説明できるのですから、これは結構なジレンマかもしれません。
何でも聞けば答えが返ってくると思っているわがままな小学生を大量に作り上げてしまった、社会全体（管理人も含めて）に責任があるのかもしれません。
管理人が小学生の頃は、よくわからないけれどとりあえず納得して前に進む、ということが普通に行われていたような気がします。

大人の方には次の説明で納得できるかと思います。

1/5+2/5=5^-1・1+5^-1・2=5^-1(1+2)=5^-1・3=3/5

0.999…=1

この式は正しいでしょうか。
無限等比級数の和を求めます。
初項0.9、公比0.1で無限和を求めてみてください。
公式は、
lim　a(1-rⁿ)/(1-r)　です（aは初項、rは公比）。
^n→∞
ホラ、1になるでしょ。
数学では同じ値を必ず一つの方法で表現するわけではないという見本のような例ですね。

eって何？

ｅってご存知ですか？
ｅは無理数の一種です。
無理数というのはですね、一言で言うと分数で表せない数のことです。
皆さんはどんな無理数を知っていますか。
ルート２、なるほど。
代数的方程式の解にならない無理数もありますね。
そう、円周率Π（パイ）です。
πは無理数の中でも「超越数」といって、他の無理数と区別されますが、実はeも、この超越数の一つなのです。
では、eとは何なのでしょうか。
数値としては2.7から2.8の間にあります。
定義の仕方は、極限を使うのが一般的なのですが、もっとわかりやすいもので説明しましょう。
正の定数aについて、xy平面でy=a^xという関数を考えます。
これは右上がりの曲線になります。
x=0で、この曲線に接線を引いたときその傾きが1となる場合、定数aが，eです。
この関数(指数関数）の逆関数は x=logey であり、対数関数となります。
そのためeは普通、自然対数の底と呼ばれます。（eの存在証明）

余談ですが、e の命名は、大数学者、レオンハルト・オイラー(Euler)が自分の頭文字を取ってなされたと言われています。

オイラー・ざっくばらんな人だったらしい

ゼータって何じゃ

数学をちょっとかじったことがある人なら、ゼータとか、リーマンゼータ(サラリーマンとは無関係）という言葉を聞いたことがあるかもしれません。
ゼータの誕生について、ちょっと覗いてみましょう。

①πの無限級数和

マクローリン展開というもの（別に記載予定）を使うと、さまざまな関数を無限級数の和の形で表すことができます。
当然三角関数も展開できます。
tanπ/4＝1　から、arctan1＝π/4となりますが、これをマクローリン展開してやると、πの無限級数和が求まります。

オイラーは（またオイラー！）次の式を発見しました

1+1/4+1/9+1/16+・・・

_∞
＝Σ1/n²

ⁿ⁼¹
＝π²/6

（上式の導出について）

ここでオイラーは左辺の因数分解を試みました。
すると意外な結果が現れたのです。

1/1+1/4+1/9+1/16+・・・
＝(1-1/4)^-1(1-1/9)^-1(1-1/25)^-1(1-1/49)^-1(1-1/121)^-1
＝Π(1-1/n²)^-1

^n=素数

このように、素数を同じ手順で四則演算したものの、無限積が、円周率2乗の1/6に等しいことがわかったのです。
このように、一見まったく無関係なものが美しい形で（この辺は主観の入るところですが）結ばれるとき、そこに無数の宝が埋もれていることが、数学の世界では良くあります。

②ゼータ登場

上の式をより一般化して、次のような、変数sの関数を考えます。

ζ(s)

_∞
＝Σ1/n^s

ⁿ⁼¹
＝Π(1-p^-s)^-1　　(pは素数）

^p

この形式の関数が、「元祖」ゼータ関数、リーマンゼータです。
リーマンゼータにおいて、s=1/2における本質的ゼロ点（複素ゼロ点）をさがすことが、リーマン予想を完全解決することにつながり、21世紀まで持ち越された重要な未解決問題の一つです。
ちょっと難しい話になってしまいました。
機会があれば、より噛み砕いたお話をしたいと思います。

高次方程式の解法（５次以上の解の公式は？）

実係数の２次方程式の解の公式は、中学で習いますが（中学で習うのは整数係数、または有理係数の方程式ですが）、それ以上の方程式についてはどうなのでしょうか。
例えば３次方程式でも、Ｘ³－１ならば、因数分解で簡単に解けますが、どんな３次方程式でも解ける、解の公式はないのでしょうか。
これについては中世（16世紀）イタリアの万能学者、カルダノが発表したのですが、式を発見したのは、経歴の良くわからないタルッターリヤという男であり、カルダノが彼を騙して無理やり聞き出し、自身の功績としてしまったと考えられています。
その後同じイタリアのフェラリが４次方程式の解法を発見し、16世紀中葉には、4次までの解法が出揃いました。
５次以上もこの調子で、と数学者は意気込んだのですが、ここから２００年ほど、代数の分野の発展は、それまでに比べて停滞します。
なぜかというと、この時期、解析の分野で大発見があったからです。
いうまでもなく微積分の発見です（厳密には微分法の発見とするべきでしょうか）。
しばらくの停滞の後、高次方程式は再び脚光を浴びます（解析分野からの要請だったと考える人もいます）。
この分野で功績のあった人を挙げると、ラグランジュ、ルフィニ、ガウス、アーベル、ガロアとなりましょうか。
彼らの研究の過程で、どうやら５次以上の方程式には解の公式は存在しなのではないかと考えられ始めるようになりました。
実際に５次方程式の不可解性の証明は、まずルフィニが行い、生涯その証明を完全なものへ近づけました。
より完全な証明は、２７歳で夭逝したアーベルによってなされましたが、ほぼ同時代のガロア（２１歳で決闘で亡くなった）の「群」の考え方を使うと、方程式が代数的に解けるかどうかをいとも簡単に説明できます。

数学には、感覚的な理解とずれる部分がある、というか、感覚的な理解を拒んでいる部分がある、と常日頃感じておりますが、これ（５次以上の方程式の代数的不可解性）は、その典型の一つですね。
ちなみに大数学者のガウス（アーベルより少し年上）は、５次以上の方程式の不可解性について淡白な態度をとりつづけましたが、その事実には気づいていたらしく、「その不可解性の証明は、さほど難しいことではない」と述べていますが、彼自身は証明を残していません。
この問題をさほど重視していなかったということでしょうか。

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