ラトルバックの力学

〜片腕を下げた静止状態から〜

【緒元】

　ロール軸まわりの慣性モーメント　　Ｉr

　ピッチ軸まわりの慣性モーメント　　Ｉp

　ヨー軸まわりの慣性モーメント　　　Ｉy

　質量　　　　　　　　　　　　　　　ｍ

【力および角加速度の定義】

　力および角加速度の方向に関する定義は上図の通り。

【初期状態】

　ピッチ角θp、ロール角０で静止状態。

　接地点は図のように重心からロール軸方向にｘ、ロール軸に垂直な方向にｙだけずれている。

【近似】

　ピッチ角θpは微小と仮定し、２次以上を無視する意味で近似を行う（sinθp → θp、cosθp → １）。

【運動方程式】

ロール軸まわりの方程式

Ｉrα　＝　Ｎｙ−ｆｚ　　　　　　　―――――（１）

ピッチ軸まわりの方程式

Ｉpβ　＝　Ｎｘ−Ｆ(ｚ＋ｘθp)　　―――――（２）

ヨー軸まわりの方程式

Ｉyγ　＝　ｆｘ−Ｆｙ　　　　　　　―――――（３）

重心位置の水平面内ロール軸方向の方程式

ｍ（ｚβ＋ｙγ）　＝　Ｆ　　　　　―――――（４）

重心位置の水平面内ロール軸に垂直な方向の方程式

ｍ（ｚα−ｘγ）　＝　ｆ　　　　　―――――（５）

重心位置の鉛直方向の方程式

ｍ（ｙα＋ｘβ）　＝　ｍｇ−Ｎ　　―――――（６）

【解析】

上記の（１）〜（６）の連立方程式を解くことによりｆ、F、N、α、β、γ、を求めることができるが、それをすることは多少の労力を必要とする。

今関心があるのは、摩擦力成分ｆおよびFの比率、つまり摩擦力ベクトルの方向である。これを知ることにより、ヨーの角加速度γが摩擦力により生じるかどうかが判別できる。式（３）を見て分かるように以下の関係がある。

ｆ／F　＝　ｙ／ｘ　のとき、ヨーの角加速度γ＝０、

ｆ／F　＞　ｙ／ｘ　のとき、ヨーの角加速度γ＞０、

ｆ／F　＜　ｙ／ｘ　のとき、ヨーの角加速度γ＜０、

そこで、このｆ／Fを知ることのみを目的として、上記連立方程式を解くこととする。

（４）に（２）、（３）を代入し、β、γ、を消去すると、

　 　　―――――（７）

（５）に（１）、（３）を代入してα、γ、を消去すると、

　 　　　　　　―――――（８）

（７）、（８）よりNを消去すると、

　 　―――――（９）

よって、ｆ／Fは、

　 　―――――（１０）

式（１０）を眺めてもなかなかピンとこないので、具体的な数値を代入してみることにする。

ｍ　＝0.1[kg]

Ｉr　=0.00001[kg*m*m]（ロール軸まわり半径1cmに0.1kgの質量が分布しているとみなした値）

Ｉp　＝0.0002[kg*m*m]（ラトルバックの縦横寸法比が４〜５程度なのでその約２乗である２０をＩrに乗じた）

Ｉy　＝0.0003[kg*m*m]（やはりラトルバックの形状から、Ｉpの1.5倍程度が妥当と判断）

ｘ　＝0.02[m]

ｙ　＝0.005[m]

ｚ　＝0.01[m]

θp　＝0.1[rad]（約5.7度）

以上の数値を式（１０）に代入したところ以下の結果が得られた。

ｆ／Ｆ　＝　2.34　（ ＞ ｙ／ｘ＝0.25 ）

以上により接地点の摩擦力がヨーイングトルクとなりラトルバックが回転を始めることが示された。