◆実効値(root mean square)ってなんだ？

　只今フルスケール2Wの高周波電力計（フジソク製）を修理中です。ダミー抵抗の一部に温度センサーがありメーターを振らせるだけの単純な構造です。このメーターは本当の電力よりも少なく表示します。搭載のメーターは本来300uAでフルスケールですが400uA以上流さないと振り切りません。メーターがいかれているようです。

　この電力計は2Wレンジだけの大変シンプルなものです。QRP電力計として1mWくらいまで見えるようになると重宝だと思います。修理ついでに温度センサーのほかにダイオード検波も追加してもう少し小さな電力を見るモードも追加したくなりました。(本当は温度センサーの抵抗を切り替えて感度UPしたいのですが、がっちりでき過ぎていてその部分は物理的に改造困難です。)

　さて、ダイオード検波＋”いかれ”メーターでどの程度の電力が見えるのかを計算しようと考えているうちに、交流の計算に良く登場する実効値って何気なく使っているけれどもちゃんと説明できないことに気が付きました。

　さっそく調べて計算してみました。忘れそうなので備忘録としてドキュメント化しました。

◆実効値(root mean square)の定義

　負荷に交流電圧を供給すると電力は時間と共に変化します。実効値とはこの交流を直流に変換したときに同じ電力になる直流電圧のことです。

　例えば振幅が±2Vの交流があるとします。(最初は簡単なモデルで考える)

　各時刻における電力は以下の式より求まります。

　負荷が1Ωの場合は電圧と電力の関係は となります。この式を使って各時刻の電力を計算します。

　交流を直流に変換した場合は電力が平均化されますので、平均電力を計算します。

　平均電力は2Wでした、これを電圧に変換すると実効値になります。

◆正弦波について考えてみる

　正弦波の実効値はと言われています。前節では簡単な交流モデルの面積を求め実効値を計算しました。同じアプローチで0.707になる過程を確かめます。

　正弦波交流は、 です。実効値を確かめるには位相や周波数を考えなくてもよいので、単純に として計算します。

　前節と同様に負荷を1Ωとして式を立てます。電圧はなので、電力は単純にそれを二乗しとなります。電力の総和は 、つまり一周期分の定積分とします。平均電力は総和を2πで割って求めます。最後により、電力を電圧に変換します。まとめると以下の式になります。

　この式を解くためにの不定積分を計算しましょう。

　0〜2πの範囲の面積を求めます。

　実効値を計算します。

が2Vの正弦波の実効値は であることが確認できました。

　おぉー、こーゆことだったのかぁ。

2006/11/13