手計算でlog₁₀2

2^10 = 1024 ≒ 1000
（ハット記号 ^ は何乗するの意味）

　２の１０乗を1024ではなく、ほぼ1000と考えるとlog 2を計算するのに大変都合がいいです。大胆にも log 2^10 = log 1000 と考えてしまいます。log 1000は3なので次の関係が成り立ちます。

log(2^10) = 10 log 2 ≒ log 1000　= 3

　10 log 2 = 3 とすれば、log 2 = 3/10 = 0.3 となります。大変おおざっぱではありますが、log2 ≒ 0.3である事が分かりました。正確には1024を1000と見なしたわけですから0.3は本当の値よりも少し小さめになります。

◆log 2からlog 4とlog 8を求める

　log 2を足がかりにlog 4とlog 8の値が求まります。4は2の二乗、8は2の三乗であることを利用します。

log 4 = log(2^2) = 2 log 2 = 2 * 0.3 = 0.6

log 8 = log(2^3) = 3 log 2 = 3 * 0.3 = 0.9

◆ここまでのまとめ

log 2=	大雑把な計算結果→	0.3
log 4=	log(2^2) = 2 log 2 = 2 * 0.3 =	0.6
log 8=	log(2^3) = 3 log 2 = 3 * 0.3 =	0.9

◆次はlog 9

　２の場合と同様に、９の２乗を考えます。81ほぼ80と考える事にします。

9^2 = 81 ≒ 80

　log(9^2)をlog 80と考え、log 8とlog 10の足し算に変形すると値を求めることができます。log 8は0.9でした、log 10は1でしたね。

log(9^2) = 2 log 9 ≒ log 80 = log(8 * 10) = log 8 + log 10 = 0.9 + 1 = 1.9

　この式より、2 log 9 = 1.9 とすれば、log 9 = 1.9 / 2 = 0.95 となります。log 8の値は少し小さめなこと、81を80とみなしたので0.95は本当の値よりも少し小さめです。

◆log 9からlog 3を求める

　log 9はlog(3^2)と考えると値が求まります。

log 9 = log(3^2) = 2 log 3 = 0.95

log 3 = log 9 / 2 = 0.95 / 2 = 0.475

log 2=	大雑把な計算結果→	0.3
log 3=	log 9 / 2 = 0.95 / 2 =	0.475
log 4=	log(2^2) = 2 log 2 = 2 * 0.3 =	0.6
log 8=	log(2^3) = 3 log 2 = 3 * 0.3 =	0.9
log 9=	大雑把な計算結果→	0.95

　今度は割り算の関係を利用します。 5 は 10/2 なので、log 10とlog 2を利用しlog 5を求めます。

log 5 = log(10/2) = log 10 - log 2 = 1 - 0.3 = 0.7

　0.3は本当の値よりも小さめなので、0.7はlog 5の本当の値はよりも大きめです。

◆最後はlog 7

　２や９の場合と同じ様に、７の２乗を考えます。49をほぼ50と考えます。

7^2 = 49 ≒ 50

log(7^2) = 2 log 7 ≒ log 50 = log 10 + log 5 = 1 + 0.7 = 1.7

2 log 7 = 1.7

log 7 = 1.7 / 2 = 0.85

　log 5が少し大きめでしので、0.85も大きめです。

◆まとめ

log 2=	大雑把な計算結果→	0.3
log 3=	log 9 / 2 = 0.95 / 2 =	0.475
log 4=	log(2^2) = 2 log 2 = 2 * 0.3 =	0.6
log 5=	log 10 - log 2 = 1 - 0.3 =	0.7
log 6=	log 2 + log 3 = 0.3 + 0.475 =	0.775
log 7=	大雑把な計算結果→	0.85
log 8=	log(2^3) = 3 log 2 = 3 * 0.3 =	0.9
log 9=	大雑把な計算結果→	0.95

　大雑把な値ですが手計算で２〜９までの対数を求めることができました。これまで電卓にまかせっきりだったことを手計算するだけで親近感が沸いてきた錯覚を起こします。関数電卓のない時代の人ってスゴイと思う瞬間でもあります。

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