目次 1章 はじめに 電磁石の吸引力計算について(簡易計算法) 福島 貫 東京都品川区八潮５町目10番地49号棟1303 1章. はじめに ページのTOPへ 吊り上げ用電磁石や磁力応用工具の吸引力計算は従来，次式により行われてきた１）。
但し、 F
：吸引力 (N) Bg ：吸引面の磁束密度
(T) S ：吸引面の面積 (m2)μ０ ： 真空中の透磁率 NI
：起磁力 (A) G ：空隙 (m) K
：鉄部分の損失を考慮した係数 この方法では，実測値との誤差が大きいため，Kの値を変えたり、漏洩磁束を考慮してBgに係数を掛ける等の方法も行われてきた。 しかし，鉄部の磁気抵抗は磁束密度で変化し，漏洩磁束も鉄部の磁気抵抗によって変化することから，吸引面空隙により鉄部の磁気抵抗や漏洩磁束が変わり，鉄部の磁束密度が高い状態では、計算値と実測値の差が非常に大きくなるという問題があった。 実際 (1) 式および (2) 式では空隙がゼロの時の吸引力は無限大になってしまう。 また実際の電磁石では主極部分の吸引面磁束と，側板部分の吸引面磁束密度が異なるが
(1) 式および
(2) 式ではこの説明がつかないという問題もある。 筆者は、計算値と実測値を一致させるための計算方法を考えるにあたり次の様な考察を行った。 電磁式磁石に用いられる軟鉄材の比透磁率は103程度であり、磁化曲線が飽和曲線となるため磁束密度が高くなると比透磁率はさらに減少する。 このことは、鉄部の磁束密度が高くなる場合には鉄の透磁率と非磁性体の透磁率の差が小さくなる事を意味しており､鉄の近くの空間に存在する漏洩磁束が無視できなくなる。 漏洩磁束は鉄の磁束密度に影響を与え磁気抵抗を変化させる。 このため、鉄部の磁気抵抗は各部分で異なることになり、特に鉄の磁束密度の高い部分では、鉄の磁気抵抗が大きくなり、近辺の漏洩磁束も大きくなるから、鉄の各部分の磁気抵抗の差はさらに大きくなる。 このことから、鉄の磁束密度が高くなる場合の磁気回路の計算を行う場合は、鉄の磁気抵抗と漏洩磁束を考慮した計算とする必要があり、また鉄の磁気抵抗と漏洩磁束は互いに影響しあうから同時に計算する必要があることになる。 また、鉄の磁気抵抗は各部分で異なる値となることが予想されるから、鉄部分を分割して計算する必要があり、空間部分もこれに対応させて分割する必要がある。 起磁力もコイル溝部分の漏洩磁束を不均一にするから、起磁力がコイル溝部分に均一に分布するとして鉄部分の分割に対応させて分割する必要がある。 有限要素法２） は、この考え方を実施する最も良い手段と考えられるが、計算時間が長いという問題があり、また角形平板型磁石のように3次元の計算を必要とすると考えられるような場合には非常に長い計算時間を必要とするという問題がある。 筆者は、材質の異なる2組の磁石を使用し1組の磁石を着磁または逆方向に着磁することでON、OFFを行う方式の永電磁式磁石の吸引力計算に、古くからある仮定磁路法２）を用いて計算を行ったところ、鉄の磁気抵抗を無視した計算でも、空隙0.2mmでの誤差3割以下、空隙1mm付近でほぼ近似するという結果を得た。 この方式の磁石は磁束密度の高い部分を吸着面付近にのみ限定できるという特徴があり、磁気抵抗の影響を少なく出来るという特徴がある。 このことから角形平板型磁石にも適用でき、計算時間が短くなるであろうと考えられる簡易計算法として、仮定磁路法２）に前記の考察に基づく改良を加えることを検討した。 鉄の磁気抵抗と漏洩磁束を考慮して同時に計算する場合、回路網を作成して連立方程式を解き磁路の各部の磁束と磁束密度を求めることになるが、鉄の磁気抵抗は磁束密度で変化するためこの対策が必要となる。 この対策として、計算をはじめる時点では、各部の磁束密度は不明であるから適当な値として比透磁率を1000として鉄部の磁気抵抗を算出し、計算を開始し、計算の結果得られた磁束密度より鉄部の各部の磁気抵抗を求め、新しい磁気抵抗を連立方程式に代入して再計算するという操作を繰り返し行う方法を用いた。 この場合、磁束密度より求めた磁気抵抗をそのまま連立方程式に代入すると計算結果が振動する。 これは、計算に用いる磁気抵抗が実際のものより小さいと、計算の結果得られる磁束密度は実際より大きいものとなり、この大きな磁束密度より求めた大きな磁気抵抗を用いて計算を行えば、計算により得られる磁束密度は実際より小さくなるという事を繰り返すためと考えられ、鉄を磁束密度の高い状態で使用する時のように僅かな磁束密度の変化に対して磁気抵抗が大きく変化する場合に顕著に現われると考えられる。 この現象を抑制するため、計算の結果得られた磁束密度から次の計算に用いる鉄部の磁気抵抗を求める場合に（3）式を用いることとした。
但し、
Rx ： 計算に用いた磁気抵抗 Ry ：計算の結果得られた磁束密度から求めた磁気抵抗 Rｚ ：次の計算に用いる磁気抵抗 Kh ：補正係数 補正係数と計算値の収束の関係については、6章に示す。 1)
磁路を仮定する。 2)
磁路を分割して各部の磁気抵抗を算出する。 このとき、最初の鉄部の磁気抵抗は不明であるから鉄部の比透磁率を1000として計算を開始する。 3)
等価回路より連立方程式を作成する 4)
ガウスの消去法により連立方程式を解き各部の磁束と磁束密度を求める。 5)
鉄部各部について使用する鉄の磁化曲線とそれぞれの部分の磁束密度から補正係数を用いて新しい磁気抵抗を求める。 6)
新しい磁気抵抗を連立方程式に代入する。 7)
４）～6)の操作を繰り返して計算結果を収束させる。 8)
吸引面磁束密度を
(1) 式に代入して吸引力を算出する。 Fig.1の主極の直径がPd (m) 、コイル溝の幅がCw (m) 、側板の厚さがGw (m) 、コイル溝の高さがCh (m) 、底板厚さがSt (m) 、外径 がD (m) の円形平板型電磁式磁石が空隙G (m) の距離で鋼板を吸引する場合を例にとって磁路計算を行う． |
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4.1磁路の仮定 4.1.1
主磁路 磁極から出る磁束の大部分はFig.2に矢印で示すように、主極、ワーク、側板、底板を通って主極に戻る。 このFig.2の矢印で示す磁束の通路を主磁路ということにする。 4.1.2
漏洩磁束 4.1.2.1
漏洩磁束の発生場所 漏洩磁束はFig.3のP0～P6の部分に発生すると仮定する。 Fig.3において，Gは空隙の長さであり，寸法Yは主極から直接側板に達する磁束の密度と主極からワークを経て側板に達する磁束の密度が同じとなると考えられる吸引面からの距離を表し
(４)
式で計算する。
コイル溝の深さCh
からYを引いた値をHとする。 |
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4.1.2.2 漏洩磁束の形状 P1、P2、P3、およびP３＋P4、P3+P4+P5 部分の形状は、計算を楽にするため、Fig.4に示すように、主極または、側板の吸引面の端を中心に半径rの円弧を描き、この円弧が吸引面の延長線と交わる点Aからワークに巣直な線を引いたときにできる斜線部分のような形状とする。 このとき、P1、P2およびP3の外側は、ｒ＝Yとなり、P４ の外側は、ｒ＝CH、P5の外側は、ｒ＝Ch+Stとなる。 4.2 磁路の分割と磁気抵抗の算出 4.2.1 磁路の分割 鉄部の磁束密度は、主磁路に直角な方向ではあまり変化がないと考えられるため、磁路の分割は主磁路に直角な線で分割する。 Fig.3のY部分とH部分は漏洩磁束の形状が異なるため分けて計算することとし、Y部分をny 等分H部分を nh 等分して、
とする。 底板部分は磁路断面積が異なり、当然磁束密度も異なると考えられるため、底板のコイル溝部分もns等分して、
このny
、nh
およびnsの値は多ければ多いほどよいが、この数が多いと未知数の数が多くなり、計算時間が長くなる。 4.2.2 各部の磁気抵抗の算出 4.1.2.2 漏洩磁束の形状 P1、P2、P3、およびP３＋P4、P3+P4+P5 部分の形状は、計算を楽にするため、Fig.4に示すように、主極または、側板の吸引面の端を中心に半径rの円弧を描き、この円弧が吸引面の延長線と交わる点Aからワークに巣直な線を引いたときにできる斜線部分のような形状とする。 このとき、P1、P2およびP3の外側は、ｒ＝Yとなり、P４ の外側は、ｒ＝CH、P5の外側は、ｒ＝Ch+Stとなる。 4.2 磁路の分割と磁気抵抗の算出 4.2.1 磁路の分割 鉄部の磁束密度は、主磁路に直角な方向ではあまり変化がないと考えられるため、磁路の分割は主磁路に直角な線で分割する。 Fig.3のY部分とH部分は漏洩磁束の形状が異なるため分けて計算することとし、Y部分をny 等分H部分を nh 等分して、
とする。 底板部分は磁路断面積が異なり、当然磁束密度も異なると考えられるため、底板のコイル溝部分もns等分して、
このny 、nh およびnsの値は多ければ多いほどよいが、この数が多いと未知数の数が多くなり、計算時間が長くなる。 4.2.2 各部の磁気抵抗の算出 磁気抵抗を計算するとき、磁路の形状から磁路断面積の特定が困難と考えられる場合、仮定磁路法の半円筒の直径両端間のパーミアンス計算4)
にならって、磁路の体積を磁路長で除した値を磁路断面積とする。 Fig.4の斜線部の形をした磁路P1、P2、P3、P4、を鉄部の分割に合わせて分割するとFig.5のような形の厚さが⊿の磁路になる。
Fig.5 漏洩磁束の形状 Fig.5で とすると、この磁路の体積Vmは
磁路長Lmは、 磁気抵抗Rmは、 4.2.2.1 H部分の磁気抵抗 H部分をnh等分したとき、ｋ を1～
nh の自然数として、底板側からｋ番目の部分について主極部の磁気抵抗をRAk、側板部の磁気抵抗をRBk、P0部の磁気抵抗をR0k、P4部の磁気抵抗をR4kとしてこれらの磁気抵抗を算出する。 主極部の磁気抵抗RAkは、この部分の透磁率がμAkの時、
側板部の磁気抵抗RBkは、この部分の透磁率がμBkの時、
P0部分のこの部分の磁気抵抗R0kは、
P4部分はFig.5の形状になるから、この部分の磁気抵抗R4kは、
として、 (15) 式、 (16) 式、 (17) 式を、(8) 式、 (9) 式に代入して (10) 式、 (11) 式により Rmを算出すれば、 R4k=Rm 4.2.2.2 Y部分の磁気抵抗 Y部分をny等分したとき、ｋ を1～
nh の自然数として、底板側からｋ番目の部分について主極部の磁気抵抗をRCk、側板部の磁気抵抗をRDk、P1部の磁気抵抗をR1k、P2の磁気抵抗をR2k、 P3部の磁気抵抗をR3k としてこれらの磁気抵抗を算出する。 主極部の磁気抵抗RCkは、この部分の透磁率がμCkの時、
側板部の磁気抵抗RDkは、この部分の透磁率がμDkの時、
P1部分はFig.5の形状になるから、この部分の磁気抵抗 R1kは、
として、 (20) 式、 (21) 式、 (22) 式を (8) 式、 (9) 式に代入し、 (10) 式、 (11) 式よりRmを算出すれば、 R1k=Rm P3部分もFig.5の形状になるから、この部分の磁気抵抗R3は、 (15) 式、 (21) 式、 (22) 式を、 (8) 式、 (9) 式に代入し、 (10) 式、 (11) 式よりRmを算出すれば、 R3k=Rm P2部分もFig.5の形状になるから、この部分の磁気抵抗R2kは、
として、 (21) 式、 (22) 式、 (23) 式を (8) 式、 (24) 式に代入して、 (10) 式、 (11) 式よりRmを算出すれば、 R2k=Rm 4.2.2.3 P5部分の磁気抵抗 P5部分もFig.5の形状になるから、この部分の磁気抵抗R2kは、
として、 (15) 式、 (25) 式、 (26) 式を (8) 式、(9) 式に代入して、 (10) 式、 (11) 式よりRmを算出すれば、 R5=Rm 4.2.2.4 P6部分の磁気抵抗 P6部分の磁路の体積は、 (2７) 式からP1部分の体積V1とP2部分の体積V2を引いたものとなる。 V1とV2は、P1部およびP2部の計算時に計算される体積を加算することで得られる。
この部分の磁路長L6は、(28)式で求めるものとする。
この部分の磁気抵抗R6は、
4.2.2.5 底板部分の磁気抵抗 底板のコイル溝部分をNs等分したとき、ｋ を1～
nｓ の自然数として、主極側からk番目の磁路断面積Sk は、
この部分の透磁率をμEkとすると、この部分の磁気抵抗REkは、
4.2.2.6 吸引面空隙部の磁気抵抗 主極部吸引面の空隙の磁気抵抗をRFとすると、
側板部吸引面の空隙の磁気抵抗をRGとすると、
4.3 等価回路 起磁力がNIのとき、起磁力はコイル溝の部分に均一に分布するとして、ｎhで分割し、分割された起磁力をDvとして4章で求めた磁気抵抗とともに等価回路を作成する。 このときP2部分とP3部分は、鉄の同じ部分に対応しており、並列に接続された一つの磁気抵抗として扱えるから、ｋ を1～ ｎy の自然数として、合成抵抗をR23kとすれば、 P6部分の磁気抵抗R6は、どの部分からの漏洩か特定が困難なので、便宜的にR0nhと並列になるものとして扱う。 このようにしたときの等価回路は、Fig.6のようになる。 この等価回路により連立方程式を作成して各部の磁束を計算し磁束密度を算出する。 |
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4.4
磁化曲線の取り扱い 磁化曲線により、磁束密度から透磁率を求める方法として、計算時間を短くするために、磁束密度を変数とする透磁率の配列変数を作成しておき、これを用いた。 この配列変数の作成に当たり磁束密度の最小単位を0.0001 (T) とした。 磁化曲線の起磁力が10000Aを超える部分については資料がないため、36式で表される近似曲線を使用し、計算値がが3 (T) を超える場合は、磁束密度が3 (T) のときの透磁率を使用した。
Fig.7に文献による鉄の磁化曲線と、(36)式による近似曲線を示す。 |
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Fig.7 鉄の磁化曲線 |
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.5章 計算結果について ページのTOPへ 5.1
比較に用いた電磁石の寸法 Table.1の寸法をと起磁力を持つ3種類の円形平板型磁石の磁路計算をおこない実測値との比較を行った。（Ｆig.1参照） Table.1 実測値と計算値の比較に用いた磁石の寸法
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5.2 計算値と実測値の比較 Magnet1、Magnet2、Magnet3についてns＝ny=nh=10とし、補正係数0.2として、30回再計算した場合の実測値と計算値をFig.8～Fig.11に示す。 Fig.8～Fig.10は吸引力の比較であり、Fig.11はMagnet1の吸引面部分の磁束密度の比較である。 |
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Fig.8 Magnet1の吸引力―ギャップ特性 |
Fig.9 Magnet2のギャップー吸引力特性 |
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Fig.10 Magnet3のギャップー吸引力特性 |
Fig.11 Magnet1のギャップー磁束密度 |
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この計算では、吸引力だけでなく吸引面の磁束密度もよく近似している。 このことから、計算の過程で得られる鉄部の磁束密度もまた実際のものに近いとなっていると考えられる。 この計算に要する時間は，CPUにceleron(R)
1.7GHzを使用したコンピュータでエクセルのVBAとワークシートを使用してプログラムを作成した場合，グラフの作成を含めて1つの空隙当り1秒以下である． この計算法は，空隙が少なく、鉄部の磁束密度が高くなるような状態でも実測値に近い計算値が得られるという特徴があり、計算時間が短いため、その場で計算値が出来る。 また計算途中の値をワークシートに書き出せば計算値の6章で述べる収束の様子も確認できる。 空隙が小さい場合の計算では、鉄部の磁気飽和特性の影響で再計算を繰り返しても計算値が振動的になり、答えが得られないという現象が発生する。 この現象を抑制するため、(3)式を導入した。 この効果をみるため、補正係数を0.2としてMagnet1（Table.1参照）で鋼板を吸引する場合の再計算の回数と計算値（磁束密度）の関係をFig.12に示す。 Fig.12は計算で得られる各部分の磁束密度を一つのグラフに表示すると見にくくなるため、その内の一部を抜粋したものであるが、全ての部分が同様の傾向を示す。 （他の部分についても計算の課程でワークシートへの書き出しを行えば収束の様子を確認できる。） このことから、補正係数0.2程度とし、20回以上の再計算をおこなえば、実用上問題のない計算が行えることがわかる。 |
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Fig.12 計算回数による計算値の変化 補正係数 = 0.2 ギャップ = 0 mm |
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磁力応用工具は、鉄の磁束密度が高い状態で、使用される場合が多く、実測値と計算値が大きく異なることから、磁気回路は計算できないとして計算が殆ど行われない状況があったが、漏洩磁束と磁気抵抗を考慮すれば、実測値に近い計算値が得られることがわかった。 また、測定できる部分の実測値が計算値と近似することから推測して、計算で得られる鉄の内部の磁束密度も計算値に近い値であることが推測される。 鉄の内部の磁束密度について直接測定を行うことは、実際には困難であるが磁路計算により推測することが可能となり、設計段階でのシュミレーションを可能にし、鉄の部分の寸法を決めるのに役立つと期待される。 また、計算時間が短いのでその場での計算が可能となり、計算値の収束の確認もその場で行えるようになる。 鉄の磁束密度が高い場合に、計算結果を収束させるために用いた方法は、自動制御のPI制御と同様のもので、補正係数として最適値が存在し、最適値の近辺の値を用いることで早く且つ十分な収束が得られる。 今回行った3種類のマグネットによる試算では、0.1～0.2程度の値が最適値と考えられ、計算回数30回以上で十分収束する。 計算精度をそれほど気にしなければ、もっと少ない計算回数でも良い。 この計算方法の難点は、磁路を仮定する必要があることで、この段階で、実際の磁路と異なる仮定を行うと間違った答えとなる危険がある。 今回の計算でもP6の部分は一箇所に集中するものとして計算したが、実際には分散していると考えられ、吸引面への影響は少ないが、H部分とY部分の境目付近の磁束密度を知りたい時には問題があり、今後検討する必要がある。 1)
敏郎、坪島茂彦、宮川澄夫：“交直マグネットの設計と応用”（オーム社、1980） 83頁 2) 中田高義、伊藤昭吉、河瀬順洋：“有限要素法による交直マグネットの設計と応用”(森北出版1991) 3)
石黒敏郎、坪島茂彦、宮川澄夫：“交直マグネットの設計と応用”（オーム社、1980） 4)
石黒敏郎、坪島茂彦、宮川澄夫：“交直マグネットの設計と1980） 20頁 5)
石黒敏郎，坪島茂彦，宮川澄夫：“交直マグネットの設計と応用”（オーム社，1980）44ページ C=0.1%より 6)
6%より 7)
郎、坪島茂彦、宮川澄夫：“交直マグネットの設計と応用”（オーム社、1980） 8)
石黒敏郎、坪島茂彦、宮川澄夫：“交直マグネットの設計と1980） 20頁 9)
石黒敏郎，坪島茂彦，宮川澄夫：“交直マグネットの設計と応用”（オーム社，1980）44ページ C=0.16%より 10)
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