フラクタル信号を作る
フラクショナルブラウン運動(fBm)
任意のHurst指数 H をもつfBmは以下のように定義される．
ここで W ( T ) はガウシァンノイズである．fBmの特徴として，スペクトル P ( f ) ,パワースペクトル密度 Sv ( f ) は以下の関係を近似的に有する．
フラクショナル積分による作成
H = 0.5 とするとそのパワースペクトルの傾きは f -2 となり，ブラウン運動（ランダムウォーク）とよばれるこの信号は次式により与えられる．
即ち，単純な１階積分によって得られるわけだが，1 / f ノイズなどを作ろうとすると，
次の面倒な積分処理をおこなう必要がある．
・非整数階の微積分
信号f(t)のα階微分は以下の式で定義される．
微分された信号は以下のような，α階の積分により復元される．
ここで， f (α) は f ( t ) をα階微分した信号であり，
フラクタル信号を生成するさいは，一般的に無相関のガウシアン乱数が用いられる．
この非整数階の積分を利用することで任意のHurst指数のfBmを生成できる．
フラクショナル微積分を利用して生成した H = {1.0, 0.9, ･･･, -0.9} のフラクタル信号の波形，および，
パワースペクトルを以下に示す．
生成されたフラクタル信号の波形
生成されたフラクタル信号のパワースペクトル
スペクトル近似法による作成
ここでは要求されるスペクトル密度 f -β をもつランダム関数を直接作る方法がある．
まず，擬似乱数発生器によって，スペクトル密度 Sw(f) が一定なホワイトノイズ W(t) を生成する．
この W(t) に対して，伝達関数 T(t) のフィルタを通すとスペクトル密度が，
の出力 V(t) を得る．ここで T(f)~f-β/2 である．
実際の処理は以下のようにおこなう．
（１） 無相関のガウシァン乱数 W(t) をつくる
（２） ＦＦＴを使って，フーリエ級数 P(f) = R(f) + j I(f) を求める
（３） パワースペクトル S(f) = R(f)2 + I(f)2 で与えられるので，
パワースペクトルの傾きが -(2H+1) となるように，P(f)' = P(f) × f-(H+1/2) を求める
※注意 FFTでは最初の半分のデータと後半の半分のデータに分かれるため，該当周波数を与える際に間違わないようにする
※注意 FFTでの折り返された成分は共役を取っておかないと，逆FFTをかけたときに実数データに戻らなくなる
※補足 P(f)' の直流成分は 0 とする．
（４） 変換後のパワースペクトル P(f)' を逆FFTにかける
（５） 実数のフラクタルデータが生成される
FFTの影響による高周波成分の折り返しが気になる場合は，時間刻みを細かくした W(t) から
フラクタルデータを生成し，最後に希望のサンプリング周波数でリサンプリングすればよい．
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2002/3
by Hiroyuki Koga