非整数階微積分の同一式による表現
フラクショナル微分の定義
信号 f ( t )の q 階微分をΓ関数を用いて定義すると，
と表現できる．ここで，N は区間[ 0 , t ]の分割数であり，その刻みは h である．
ここで，Γ関数の積の部分を次のように変数変換する．
したがって，
･････････（１）
が得られる．
フラクショナル積分の定義
一方，p 階の定積分の定義は -q = p によって，
と表現される．続いて以下のような変数変換を施す．
ここで，積分範囲を N 等分し，Σ関数を用いて表現すると，
･････････（２）
が得られる．
フラクショナル微積分の式の統一
ここで，両者の定義が等価であることを調べるため，Δ = （１） - （２）を計算すると，
となる．N >> 1 である場合，
より，２つの定義は等価となる．
従って，式（１）で q の範囲は，-∞ < q < ∞ と拡張でき，
微分積分の計算を１つの式で表現可能である．
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2002/5
by Hiroyuki Koga