おはよー。

はいはい。
今日は、ベクトル方程式について、勉強するわ。

簡単に言うと、ベクトルを含んだ方程式だ！！

まんまやな( *´艸｀)

で、このベクトル方程式は実は、直線や円などのグラフを表すときに使われる方程式なんだ。

あんまん食いたいね。

あんまーーん。

ははっ。じゃあ、続きだ。

最初は、直線を表すベクトル方程式からやろうか。

まあ、あせるなや。まずは、復習からいこう。

今まで、直線の方程式って言ったら、$y=ax+b$の式だったよね。

では、なぜ $y=ax+b$が直線を表す式なのか分かるかい？

少しは、自分で考えるんだな。あほが。

じゃあ、いちから話そう。

まず今までは、座標平面で点を表すとき、$x$座標、$y$座標を使って、$(x,y)$の形で点を表していたよね。

で、この$x,y$を変数、$a,b$を定数として、$y=ax+b$という式を作れば直線の式になる。

で、なぜ$y=ax+b$が直線を表すかというと、まず、$x$に色々な値を代入して,それ対応する$y$に値を求める。
その求まった点を無限に座標平面上にとっていけば、直線のグラフが出来上がるんだ。

例えば、$y=2x-1$なら以下のようになる。

そうなんだ。だから、$y=ax+b$は直線の式を表すんだ。

で、この直線のグラフをベクトルを使って表してやろう！ってのが、直線のベクトル方程式なんだよ。

で、直線のベクトル方程式を考えるとき、まず最初は平面上の点の表し方を決める。
今までは、点は座標$(x,y)$で表していたよね。

直線のベクトル方程式の場合は、点はベクトルを使って表すんだ。

そうだ。で、この平面上の点は、普通P(\(\vec{p}\))とおくんだ。イメージ的には以下だよ。

そうだ。P(\(\vec{p}\))は、変数$(x,y)$の変わりさ。

で、実は直線のベクトル方程式の場合、あともう一つ変数が必要になる。使うアルファベットは「$t$」だ。

ほんで、この「$t$」は、メインのP(\(\vec{p}\))を補助する役割の変数なので、「助変数」や「媒介変数」と呼ばれるんだ。

で、その直線のベクトル方程式の形を先に言ってしまうと以下のようになる。

うん。やから、今から説明していくやん。

じゃあ、行きましょう。
直線のベクトル方程式は、次のように考えて作るんだ。

まず、先ほど言ったように、座標上の点はP(\(\vec{p}\))で表すことにする。

で、直線のベクトル方程式の場合は、最初に直線が通る１点を定めます。それを点Aとします。
この点Aの位置もベクトル\(\vec{a}\)を使って表し、A(\(\vec{a}\))とする。

そそ。

で、次は直線の傾きを決める\(\vec{d}\)を決めるんだ。

次は点Pの位置を表す\(\vec{p}\)を設定する。
どうおくかというと、\(\vec{p}\)は \(\vec{p}\)=\(\vec{a}\)+\(\vec{d}\)とおくんだ。

これで、P(\(\vec{p}\))は、下の図のように、点Pの１点を表すようになる。

そうだ。

やから、ここでもうひと工夫。補助的な変数t を用意して、\(\vec{d}\)に掛けるんだ。
つまり、\(\vec{p}\)=\(\vec{a}\)+t\(\vec{d}\)と置くんだ。

変数tに色々な値を代入して、変化させるんだ。t=2とかt=-1とかね。

すると、点Pは「点Aを通り、\(\vec{d}\)に平行な直線上」を動いていくのは分かるかい。

そそ。で、tをすべての実数をとるように変化させると、点P(\(\vec{p}\))は、下の図のように直線ｍ上の点をすべて動くようになるんだ。

そうだ。これが直線のベクトル方程式だ。もう一度、式を確認しておくね。よく読んどいてね。
下の式が、「点Aを通り、\(\vec{d}\)に平行な直線のベクトル方程式」だよ。

せやろ～～。ふーーーー。長くなって疲れたな。

はは。じゃあ、今日はここまでにしておこう。もう寝るわ((+_+))

うっせ。おつかれ。おやすみ((+_+))