直線のベクトル方程式 問題編
さあ、次は、直線のベクトル方程式の問題練習だ。
ほーーい。
では、さっそく問題を見ていこう。
【問題】
点(２，３)を通り、ベクトル\(\vec{d}\)(３，５)に平行な直線の方程式を求めなさい。
▼解説
難しいな。どうやるのかな～～。
まずは、前回やった点Aを通る直線のベクトル方程式を思い出してくれ。
これは覚えてるぜ。
そら、前やったばっかりやしな。
で、この問題は、直線の式をベクトルを使わずに、$y=ax+b$の形で表せっていう問題なんだ。
そうなんだー。でもどうやって表すの？
まずは、平面上の任意の位置を表す「ベクトル\(\vec{p}\)」をベクトルの成分表示に置き換えて、\(\vec{p}\)=$(x,y)$とおくんだ。
うん。で？それから？あ？
次は、直線のベクトル方程式 \(\vec{p}\)=\(\vec{a}\)+$t$\(\vec{d}\) に代入していくんだ。
うん、これはできるかも。今の問題は、直線が点(２，３)を通り、ベクトル\(\vec{d}\)(３，５)に平行なので、\(\vec{a}\)＝(２，３) \(\vec{d}\)＝(３，５)だよね。
これを代入して、$(x,y)=(2,3)+t(3,5)$だね。
そうだ。あとは、これを整理する。
$(x,y)=(2,3)+t(3,5)$
$(x,y)=(2,3)+(3t,5t)$
$(x,y)=(2+3t,3+5t)$
よって、$x=2+3t, y=3+5t$
【補足】
今求めた $x=2+3t, y=3+5t$ を直線の媒介変数表示という。
ほんでから、どーすんの。
あとは、$x=2+3t, y=3+5t$を連立して$t$を消去するだけだよ。
なるほど。あとはできるわ。
$x=2+3t, y=3+5t$をそれぞれ、５倍、３倍して、
$5x=10+15t$・・・①
$3y=9+15t$・・・②
①ー②より、
$5x-3y=1$
だね！！
そうだよ～。
ちなみに、途中で出てきた $x=2+3t, y=3+5t$ を直線の媒介変数表示というんで、ついでに覚えといて。
じゃあ、模範解答を書いとくね。
【問題】
（解答）
点$(2,3)$を\(\vec{a}\)＝$(2,3)$とおく。
\(\vec{p}\)=\(\vec{a}\)+$t$\(\vec{d}\)より、
$(x,y)=(2,3)+t(3,5)$
よって、$x=2+3t, y=3+5t$
２式より、ｔを消去すると、$5x-3y=1$
▲問題
わかったー。なんか簡単だね。
ま、最初はこんなもんだよ。だんだん難しくなっていくから覚悟しといてね。
こわいな。。まあ頑張るわ！！
うん。じゃあ、今日はここまで。おつかれ～～。
今日は楽だった～。帰って、ゲームするわー。
はいはい。