異なる２点を通る直線のベクトル方程式
次は、異なる２点を通るベクトル方程式を考えよう。
直線のベクトル方程式の続きだね。
そうだ。
まず、異なる２点をA(\(\vec{a}\))、B(\(\vec{b}\))とし、この２点を通る直線を $m$ とするね。
ふむふむ。
で、異なる２点を通る直線のベクトル方程式は、前回のベクトル方程式の式 \(\vec{p}\)=\(\vec{a}\)+$t$\(\vec{d}\) を元にして作るんだ。
すると、まず、この直線 $m$ は点A(\(\vec{a}\))を通るのはいいよね。
うん、そうだね。
うむ。
で、次に方向ベクトル(傾きを決めるベクトル)は、\(\vec{AB}\)になるのはいいかい？
あー、なるほど直線ｍは\(\vec{AB}\)に平行だもんね。うん、いいよ！
よし、やるようになった。
で、あとは直線のベクトル方程式 \(\vec{p}\)=\(\vec{a}\)+$t$\(\vec{d}\)の方向ベクトル\(\vec{d}\)を、\(\vec{d}\)=\(\vec{AB}\)=\(\vec{b}\)-\(\vec{a}\) として代入して、
\(\vec{p}\)=\(\vec{a}\)+$t$(\(\vec{b}\)-\(\vec{a}\))
とすれば、２点をA(\(\vec{a}\))、B(\(\vec{b}\))を通る直線のベクトル方程式の完成だ。
これは、簡単だね。前の直線のベクトル方程式の\(\vec{d}\)が、(\(\vec{b}\)-\(\vec{a}\))に変わるだけだね。
そうだよ。
であと、\(\vec{p}\)=\(\vec{a}\)+$t$(\(\vec{b}\)-\(\vec{a}\))を整理した形、
\(\vec{p}\)=(1-$t$)\(\vec{a}\)+$t$\(\vec{b}\)を知っとくと、問題を解くとき便利なので覚えといて。
展開して\(\vec{a}\)の部分を整理したんだね。分かりました、覚えときまっせ。
忘れんなや。
じゃあ、下にまとめるね。
おっけー、ここは意外に簡単だね。
まあね。では、ちょっと以下の問題をやってみよう。
【問題】
２点A(3,-1)、B(-4,5)を通る直線の媒介変数表示を求めよ。
２点A、Bを通る直線なので、さっきの直線の式を使うんだね。２つ式があったけど、どっちを使ったらいいのかな。
この場合は、\(\vec{p}\)=(1-$t$)\(\vec{a}\)+$t$\(\vec{b}\)に代入したほうが、\(\vec{a}\)がまとまっている分、少し計算が楽かな。
あ～、なるほど。じゃあ、代入して計算してみるわ～。
\(\vec{p}\)=$(x,$ $y)$、\(\vec{a}\)=$(3,$ $-1)$、\(\vec{b}\)=$(-4,$ $5)$とすると、
$(x,$ $y)$=$(1-t)$$(3,$ $-1)$+$(-4,$ $5)$
$(x,$ $y)$=$(3(1-t), -1(1-t))$+$(-4,$ $5)$
$(x,$ $y)$=$(3(1-t)-4, -1(1-t)+5)$
$(x,$ $y)$=$(-3t-1, t+4)$
よって、
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=-3t-1 \\
y=t+4
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
($t$は媒介変数)
いけてる？
いけてる。
お前はいけてないけどな。
おっす。でも、これは結構簡単だね。
ちなみに、 \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x=-3t-1 \\ y=t+4 \end{array} \right. \end{eqnarray} の$t$を消去すると、$x+3y=3$ となり、いつもの直線の方程式が得られる。
へい。
以上だ。まあ、今日は簡単だったね。
そうだね。いつもこれくらい簡単だったらええのにな。。。
いや、いつも簡単だろ。
むずかしいし。
そう？まあ、がんばりたまえ。
お腹がかなり減った。焼きそば食いたい。食いたい。食いたい。
じゃあ、今晩はカレーにしましょか。
うん!(^^)!