今日は平面上の点の存在範囲について、勉強するぞい。

はは。そこそこ難しいぞい。

はは。がんばれや。

ははっ。さあ、ではやっていくわ。

まず、前回の異なる２点を通る直線のベクトル方程式を思い出してくれ。

で、この式の下の方の式、
\(\vec{p}\)=(1-$t$)\(\vec{a}\)+$t$\(\vec{b}\)において、1-$t$=$s$とおくと、この式は

\(\vec{p}\)=$s$\(\vec{a}\)+$t$\(\vec{b}\) ただし、$s$+$t$=1

と書けるのはいいかい。

ふふ、こうおくと実はいいことがあるんだ。

では、もう一度、式を見てくれ、

\(\vec{p}\)=$s$\(\vec{a}\)+$t$\(\vec{b}\) ただし、$s$+$t$=1

この式を見て、ちょい前に学んだ、線分の内分点(外分点)を表す式と同じだということが分かるかい？

そうだよ。
で、さっきの\(\vec{p}\)=$s$\(\vec{a}\)+$t$\(\vec{b}\) ただし、$s$+$t$=1は、内分点の公式で、ｍ+ｎ＝１とおいているだけなのさ。

いいさ。

だって、例えば内分の比が ｍ：ｎ＝2：1 のとき、これは比の全体２+1＝3で割って、 ｍ：ｎ＝2：1＝\(\displaystyle \frac{ ２ }{ ３ }\)：\(\displaystyle \frac{ １ }{ ３ }\) と書けるだろ。
このとき、ｍ+ｎ＝\(\displaystyle \frac{ ２ }{ ３ }\)+\(\displaystyle \frac{ １ }{ ３ }\)＝１だよね。


他のパターンでも、
 ｍ：ｎ＝3：5＝\(\displaystyle \frac{ ３ }{ ８ }\)：\(\displaystyle \frac{ ５ }{ ８ }\)  このとき、ｍ+ｎ＝\(\displaystyle \frac{ ３ }{ ８ }\)+\(\displaystyle \frac{ ５ }{ ８ }\)＝１

 ｍ：ｎ＝11：19＝\(\displaystyle \frac{ １１ }{ ３０ }\)：\(\displaystyle \frac{ １９ }{ ３０ }\)  このとき、ｍ+ｎ＝\(\displaystyle \frac{ １１ }{ ３０ }\)+\(\displaystyle \frac{ １９ }{ ３０ }\)＝１

と書ける。

これは結局、ｍ：ｎがどんな比でもｍ+ｎ＝１の比（全体を１とする比）で表せることを意味するんだ。

ええと、、
\(\vec{p}\)=$s$\(\vec{a}\)+$t$\(\vec{b}\)、 $s$+$t$=1
が内分点をあらわす公式であることが解かれば、ｓとｔが変数（色々な値をとる文字）のとき点P(\(\vec{p}\))は直線AB上を動く点であることは分かるよね。

そうだ。
で、さらに、この式に$s$\(\geqq\)0，$t$\(\geqq\)0という条件を付けると、点Pはどこを動くようになるか分かるかい？

賢いやないか。
そうだ。正解だ。点Pは線分AB上のみを動くようになるんだ。

やから、まとめると、次のことが言えまんねん。


【平面上の点の存在範囲】
平面上の動点をP(\(\vec{p}\))とする。
そして、ある定まった２点A(\(\vec{a}\))，B(\(\vec{b}\))を決め、ｓとｔを変数とする。

ｓ，ｔを変化させ、動点P(\(\vec{p}\))が
\(\vec{p}\)=$s$\(\vec{a}\)+$t$\(\vec{b}\) ，$s$+$t$=1 ，$s$\(\geqq\)0 ，$t$\(\geqq\)0
を満たしながら動くとき、

動点P(\(\vec{p}\))の存在範囲は、線分AB上である。

で、この式は色々な問題で利用できるんだ。

そうだよ～。では次回は、さっそくこの式を活用して問題を解いてみよう( *´艸｀)

はいはい。