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条件付確率② (条件付き確率の見分け方)

次は、今までの「普通の確率」と「条件付き確率」の見分け方はみていく。みんながよくわかってない部分だね。よく聞いとけよ君。

※ 条件付き確率①を未読の方は、そちらを先に読んでくださいね( ^^)

え。 あ、うん。

では、いきなりだが以下の三つの問題をみてくれ。

【例題1】
 白玉5個、赤玉3個が入っている袋から、玉を1個取り出し、それを元に戻さないで、続いてもう一個を取り出すとき、2個とも赤玉である確率を求めよ。

【例題2】
 白玉3個、赤玉2個が入っている袋から、玉を1個取り出し、それを元に戻さないで、続いてもう一個を取り出す。1回目に白玉が出たとき、2回目が赤玉である確率を求めよ。

【例題3】
 白玉4個、赤玉3個が入っている袋から、玉を1個取り出し、それを元に戻さないで、続いてもう一個取り出す。1個目に白玉が出て、2個目に赤玉が出る確率を求めよ。

さあ、ここで質問。
この【例題1】~【例題3】内、条件付き確率を求める問題はどれですか?

え、どれ。わからん。どれや。【例題2】と【例題3】かな。

ちゃうわ。

どれなん。

正解は、【例題2】や。

見分け方、分かるか?

・・・・・。 分からん。

じゃあ、見分け方を教えよう。

ちなみに、条件き確率の単元では、今の例のように「普通の確率の問題」「条件付き確率の問題」が入り混じっている。
なので、これから勉強する内容をしっかり頭に入れとかないと、絶対混乱するから頑張ってついてきてね。

え。 あ、うん。

では、先に条件付き確率の問題を見抜くためのポイントをまとめる。

以下のポイントは非常に重要だ。

【条件付き確率だと見抜くポイント】

  1. 問題文の「~とき、~」に注目。
  2. 「~とき、~」の左の~に注目して、ここが事象になっていれば、条件付き確率を求める問題である。
   ※事象とは、「試行を行ったときの具体的な結果」のこと。

あ? わからん。

だろうね。君の頭ではちょっとね。

・・・・・・・・・。

ワン。

はい。 では、【例題2】をもう一度見てみよう。

【例題2】 条件付き確率
 白玉3個、赤玉2個が入っている袋から、玉を1個取り出し、それを元に戻さないで、続いてもう一個を取り出す。1回目に白玉が出たとき、2回目が赤玉である確率を求めよ。

条件付き確率と見抜くためにはまず、文章中の「~とき、~」を探して、「とき」の左の文章をよく見てほしいんだ。

2行目の「1回目に白玉が出たとき」のところだね。

そう。見抜き方は、ここの文章が事象になっているときは、条件付き確率を求める問題なんだ。



(補足) 事象とは、「試行を行ったときの具体的な結果」のこと。
例えば、「赤玉が出たとき」や「はずれが出たとき」や「偶数の目が出たとき」など。

この問題の場合は、「1回目に白玉が出る」という事象になってるね。
ということは、条件付き確率を求める問題ということだね。

じゃあ、【例題1】はなんでダメなの?

【例題1】は「とき」の左の文章が「事象」ではなく、単なる取り出し手順の説明になっているだろ。試行の結果、「白玉が出たとき」とかになっていない。

【例題1】
 白玉5個、赤玉3個が入っている袋から、玉を1個取り出し、それを元に戻さないで、続いてもう一個を取り出すとき、2個とも赤玉である確率を求めよ。

なるほどーーー。
じゃあ、【例題3】は?

【例題3】は最後の文章「1個目に白玉が出て、2個目に赤玉が出る確率を求めよ。」を見ると条件付き確率っぽいが、間に「とき」がないだろ。だからこれは普通の確率の問題なんだ。

【例題3】
 白玉4個、赤玉3個が入っている袋から、玉を1個取り出し、それを元に戻さないで、続いてもう一個取り出す。1個目に白玉が出て、2個目に赤玉が出る確率を求めよ。

なるほどーーー。
滅茶苦茶ややこしいね。。。

そうなんだー。こればっかりは、見抜き方をしっかり覚えておくしかないね。。。もっと分かりやすい文章にすればいいのにね。。。

では、【例題2】に戻るよ。

【例題2】 条件付き確率
 白玉3個、赤玉2個が入っている袋から、玉を1個取り出し、それを元に戻さないで、続いてもう一個を取り出す。1回目に白玉が出たとき、2回目が赤玉である確率を求めよ。

「とき」の左の文章が、「1回目に白玉が出る」という事象になってる条件付き確率の問題だね。

そそ。

このときの条件付き確率は、「1回目に白玉がでる」という条件のもとで確率を考えるんだ。

つまり、「1回目に白玉がでる」ときの場合の数を確率の分母(全体)にして、確率を求めろってことなんだ。

もうちょっと分かりやすく言うて笑

ほんと理解力ないよね。

じゃあ、樹形図を書いて、見ていくよ。下の図と解説を見て。

【例題2】 条件付き確率
 白玉3個、赤玉2個が入っている袋から、玉を1個取り出し、それを元に戻さないで、続いてもう一個を取り出す。1回目に白玉が出たとき、2回目が赤玉である確率を求めよ。

公式

あー、1回目が白になってる部分が全体で、そこしか見ないってことかー。で、その範囲で二回目が赤になる確率を求めればいいのか!よくわかった!

そうなんだ。よくわかっただろ。

うん! 「とき」と、その左の文章がポイントなんだね!

そうや。やっとわかったか。
一応「~とき~」の左のに入る文章の(例)を以下に書いておくよ。

(例)
「1回目が赤玉のとき、~」 「はずれくじを引いたとき、~」 「引いたカードが3の倍数のとき、~」 「引いたカードが偶数であった。このとき、~」 など

なんだ!わかれば簡単だね。

君が分かれば、ほとんどの人はわかるだろうね。

・・・・・・・・・・・・。

ワン。

あ、ちなみに条件付き確率を見抜くときは、さっきから言っている「とき」がキーワードなんだけど、「とき」がない問題もあったりするんだ。。。

え???
そのときは、どうやって見抜くの?

心配しなくても、今説明したことをしっかり理解していれば、それも見抜くことも出来るようになるよ。
まあ、ほとんどの場合は「とき」が書いてあるけどね。

そっか。ならとりあえず今日習ったことをしっかり理解します!!

そうしろ。
まあ、「とき」がないパターンは、また、そのうちやるよー。

はあーい。なんか、眠くなってきた。ラーメン行こう~~。

いいわー。

■重要補足■
ちなみに、【例題2】の解答として、多くの参考書などで、


(解答)
1回目に白玉がでたときは、残りは白玉2個、赤玉2個になるので、2回目に赤玉を取り出す確率は計4個から選ぶことになり、
\(\displaystyle \frac{ 2 }{ 4 }\)=\(\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }\) 


という解答を見かけるが、条件付き確率の本当の意味を知らずに、この解き方を使うのは危険である。別パターンの問題や応用問題で、どう求めればいいかわからなくなってしまう。
したがって、何もわからないうちに、この解き方をするのは避けよう。
尚、上記の(解答)の解き方の本質は以下である。理解してマスターできる人は是非マスターしておいてほしい。

公式