条件付き確率⑥ (問題練習４)
さあ、いよいよ最後の問題練習だ。これで、条件付き確率はバッチリや。
ぷぷっ
誰や。
私だ。
まあ、だれでもいいや。
ほほっ
きしょ。じゃあ、さっそく問題を見ていこう。
【問題１】
赤玉４個、白玉２個が入っている袋がある。ここからケンちゃんが、１個ずつ元に戻さずに続けて２個の玉を取り出す。
だが、変な人であるケンちゃんは、１番目の玉は色を見ないで別の箱の中にしまった。
ケンちゃんの引いた２番目の玉が白玉であったとき、１番目の玉も白玉である確率を求めよ。
▼解答
さあ、ではいつも通り、この問題が条件付き確率を求める問題かどうか見極めよう！
ほほ。なにいってるか分かんないよ。
くそが。誰やねんテメー。
ほほ。ほーほーほー。ぷ。
まあいいや。やり方をもう一度言おう。「～とき～」の左の文章に注目して、ここが事象になっているかどうか確認するんだ。
ぷー、発車します～～。そんなことより、ぷーー。
この問題は、「２番目の玉が白玉であったとき」と事象になっているので、条件付き確率を求める問題だ。
ぽぽー。
じゃあ、解答だ。別解もあるので見ておいてね。
さあ、わかったかい。
ちーーーす。
ちなみに、この辺の問題は、条件付き確率を求めるとき、今のように場合の数から解いてもいいけど、多くの場合は確率を利用したやり方で解く。
あ？
条件付き確率の最初のところで、ちらっと触れただろ。条件付き確率の以下の公式を思い出してほしい。
これの下の方の公式だよ。
俺は知らない。ぷ
はぁ。。田中くんのほうがましだったね。
たこ焼き。たこ焼き。お好み焼き！！！
君はもういいや。消えてくれ。はっ！！！
あれーーー。。。。。。。。。
・・・・・・。
・・・・・・。
・・・・・・。
何も聞こえなくなった。
さあ、気を取り直していこう。その前に、生徒を召喚しよう。はっ！
わんわん。
犬か。。まあ、いいや。
では、さっきの続き。確率を使った場合の解き方も載せておく。ちなみに、慣れればこちらの解き方のほうが解きやすいかもしれません。是非、マスターしましょう～～。
【問題１】
（別解）
「２番目の玉が白玉であったとき」とあるので、条件付き確率の問題であり、このパターンを分母として確率を求める。
このとき、先ほどの解答では場合の数を使ったが、確率を使って求めてみよう。
まず、「２番目の玉が白玉である」確率を求める。
これは、前回の単元の場合分けの確率と同じやり方である。最初に赤を引くか白を引くかで２番目の状況が変わるので、次のように場合分けをして求める。
（１番目が赤玉の場合）・・・①
最初に赤玉を引く確率は、\(\displaystyle \frac{ ４ }{ ６ }\)。続けて、２番目に白玉を引く確率は、赤玉が１つ減っているので\(\displaystyle \frac{ ２ }{ ５ }\)。よって、赤玉→白玉と引く確率は、\(\displaystyle \frac{ ４ }{ ６ }\)×\(\displaystyle \frac{ ２ }{ ５ }\)。
（１番目が白玉の場合）・・・②
最初に白玉を引く確率は、\(\displaystyle \frac{ ２ }{ ６ }\)。続けて、２番目に白玉を引く確率は、白玉が１つ減っているので\(\displaystyle \frac{ １ }{ ５ }\)。よって、赤玉→白玉と引く確率は、\(\displaystyle \frac{ ２ }{ ６ }\)×\(\displaystyle \frac{ １ }{ ５ }\)。
①と②は、互いに同時に起こらないので、「２番目の玉が白玉である」確率は①＋②となり、\(\displaystyle \frac{ ４ }{ ６ }\)×\(\displaystyle \frac{ ２ }{ ５ }\)＋\(\displaystyle \frac{ ２ }{ ６ }\)×\(\displaystyle \frac{ １ }{ ５ }\)
これが、最終的に求める条件付き確率の分母になる。
一方、分子は「２番目が白玉」かつ「１番目も白玉」のときなので、この確率は先ほど求めた、②の確率のことなので、\(\displaystyle \frac{ ２ }{ ６ }\)×\(\displaystyle \frac{ １ }{ ５ }\)となる。
したがって、求める条件付き確率は、\(\displaystyle \frac{ \displaystyle \frac{ ２ }{ ６ }×\displaystyle \frac{ １ }{ ５ } }{ \displaystyle \frac{ ４ }{ ６ }×\displaystyle \frac{ ２ }{ ５ }+\displaystyle \frac{ ２ }{ ６ }×\displaystyle \frac{ １ }{ ５ } }\)＝\(\displaystyle \frac{ １ }{ ５ }\)
▲問題
さあ、どうだ。なかなか難しいだろ。だが、結構慣れるとサクサクいけるようになるので、問題集などでも繰り返し解いて慣れてほしい。
わん！
よーしよしよし。
では、どんどんいこう。次の問題はこれだ。
【問題２】
ある製品を製造する２つの工場、ぽんこつ工場とへたれ工場があり、ぽんこつ工場の製品には３％、へたれ工場の製品には４％の割合で不良品が含まれるらしい。
ある日、イタズラ好きの幸太郎くんが、ぽんこつ工場の製品とへたれ工場の製品を３対２の割合で混ぜた。
幸太郎君は、お母さんに「この混ぜた製品の中から、１個だけ取り出せ」と命令した。このとき次の確率を求めよ。
（１）それが不良品でない確率
（２）不良品でなかったときに、それがぽんこつ工場の製品である確率
▼解答
さあ、これはどうだ。
わん！
こいつも、もういいな。まあ、とりあえず解答や。
どうや、簡単やろ。ちなみにこれも確率で解く【別解】がある。
わんわん！
くそが。では、別解もみていこう。確率を使って条件付き確率を求めます。
【問題２】
（別解）
▲問題
さあ、どうだ。ちょっと難しかったかもね。
なんども読んで理解してほしい。
わんわん！
最後に、類題を載せておく。解答は、またおいおい載せていく。
条件付き確率については、これで一通り終わりだ！！
どうだ？少しはできるようになったか。
わんわん！
お前に聞いても無駄か。生徒を消しすぎた。。。
では、またどこかでお会いしよう。
【問題３】
ある工場があり、そこで靴下をいくつかの機械で製造している。
ここで、靴下に穴が開いている不良品ができる確率は、機械Aを使った場合は５％であるが、それ以外の機械では１０％に上がる。また、機械Aで製品全体の６０％を作る。製品の中から１足を取り出したとき、次の問いに答えよ。
（１）それが穴が開いている不良品である確率
（２）穴が開いている不良品であったとき、それが機械Aの製品で
ある確率を求めよ
【問題４】
白玉７個と赤玉５個が入っている袋から、１個ずつ続けて２個の玉を取り出した。２番目の玉が赤玉であるとき、１番目の玉も赤玉である確率を求めよ
【問題５】
２０本のくじの中に５本の当たりくじが入っている。
このくじからマイケル君が１本ずつ順に引いた。くじは元に戻さずに２本引いたら、マイケル君は、２本の中に当たりくじがあるのが分かった。
このとき、１本目だけが当たりくじである確率を求めよ。
【問題６】
区別のつかない４個の黒玉と９個の白玉が袋に入っている。太郎君が、この袋から１個ずつ２回に分けて玉を取り出す。
太郎君は昔から、よく分からない行動をする子である。今回も、謎の行動をする。
太郎君は、取り出した球が黒の場合はもとの袋に戻し、取り出した玉が白の場合はもとの袋に戻さない。よく分からないが、太郎君はこういうことをするのが楽しいと思ってるらしい。それはさておき、次の問いに答えてね。
（１）１回目が黒玉であるとき、２回目も黒玉である確率を求めよ。
（２）２回目が黒玉であるとき、１回目も黒玉である確率を求めよ。
解答はまた今度～～。